j'ai effectué un exercice mais il n'y avait pas la correction, je suis donc parti en quête de réponses sur différents forum. J'ai trouvé un forum ou l'exercice avait l'air d'être à peu près le même mais ça datait de 2005 je préfère donc reposter cela ici.
Voilà l'énoncé :
Sur un damier carré de cinq cases sur cinq, on pose au hasard cinq jetons indiscernables sur cinq cases différentes. Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants:
1. un jeton exactement est placé par ligne et par colonne
2. Aucun jeton n'est sur une diagonale
3. Une colonne au moins est vide
La ou je me pose réellement des questions c'est pour la 3, mais je détaille les autres tout de même :
1.
On a 25 cases en tout sur le damier, pour le premier jeton on a donc 25 choix possibles, pour le deuxième on passe à 16 choix (car il ne peut ni être sur la même ligne ni sur la même colonne que le précédent), personnellement je me suis fait un dessin pour aider : on choisit une case au hasard et on barre toutes les cases sur la même ligne et sur la même colonne, voilà
Le troisième jeton a 9 choix, le 4ème 4 et enfin le dernier 1(même technique).
Soit
25*16*9*4*1 = 14 400
On calcule ensuite le cardinal de l'univers :
25*24*23*22*21 = 6375600
On cherche la probabilité de l'évènement 1 :
D'où
p(1) = 14400/6375600 = 0,00226
2.
Les diagonales du damier compose 9 cases en tout, 25-9 = 16
Donc on a 16 choix pour le premier, 15 pour le deuxième etc
Soit
16*15*14*13*12 = 524160
On cherche la probabilité de l'évènement 2 :
D'où
p(2) = 524160/6375600 = 0,0822
3. (C'est la que ça se corse)
On va prendre pour une seule colonne vide : (1 parmi 5)
On a 20 choix pour le premier, 15 choix pour le deuxième (on enlève la colonne déjà utilisé), 10 choix pour le troisième, 5 choix pour le quatrième et le dernier a 16 choix (toutes les colonnes ont déjà été utilisés, on peut donc le placé où on veut excepté dans la colonne vide bien sûr).
Il y a (1 parmi 5) solutions pour une seule colonne vide soit 5.
D'où
5*20*15*10*5*16 = 1200000
Maintenant pour deux colonnes vides : (2 parmi 5) = 10 (je le met ici pour pas qu'il sorte de nul part)
On réitère la même méthode
On obtient :
10*15*10*5*12*11 = 990000
Maintenant pour trois colonnes vides : (3 parmi 5) = 10
On réitère,
On obtient :
10*10*5*8*7*6 = 168000
Enfin pour 4 colonnes vides : (4 parmi 5) = 5
On réitère,
On obtient :
5*5*4*3*2*1 = 600
On a :
1200000+990000+168000+600 = 2358600
D'où
2358600/6375600 = 0,3699
Voilà pour mon développement, j'ai l'impression sur le dernier d'avoir compté certaines positions trop de fois,
Ex: si les 4 colonnes sont vides alors une seule position est possible si l'ordre ne compte pas vu qu'il n'y a que 5 places.
Cette hésitation est due au fait que les jetons soit indiscernables et donc que l'ordre ne compte pas et que j'ai l'impression de l'avoir compté, à tord ou à raison a vous de me le dire
Merci d'avance, bonne journée.