Si je dessine un cube en perspective, les 12 arêtes sont issues de 3 pf C1,C2,C3.
Si je considère 12 les diagonales des ses faces (cad les arêtes des deux tétraèdres inclus dedans), elles sont issues de 6 pf.
Ici T1,T2,T3 sont les pf de trois diagonales issues d'un même sommet.
https://pbs.twimg.com/media/GGotTUhXoAACHRt?format=jpg&name=largeA noter que le triangle C1C2C3 est toujours aigu. De même le triangle T1T2T3 est "plus" qu'aigu, "quasi" équilatéral (notion à préciser...).
Dessiner sur une feuille à plat fait qu'on choisit une projection du plan projectif P(R^3) privé d'une droite sur un plan affine R^2. D'où l'apparition des longueurs et des angles. On peut changer l'angle de vue, appliquer une homographie aux points de fuite Ti. Les solutions Ri bougent aussi, ce n'est pas selon l'homographie, mais elles continuent d'exister, en toute logique.
Bref la perspective c'est une combinaison de deux projections R^3\{0} -> P(R^3) puis P(R^3)\droite -> R^2x{1}, le tout correspondant à une projection R^3\(plan z=0) -> R^2x{1}, (x,y,z) |-> (x/z,y/z,1) selon (0,0,0)
Les Ri sont ce que j'appelle dans mon vocabulaire perso des "points rectificateurs" : si je considère un horizon h sur un dessin, alors il existe deux points R et R' symétriques, en lesquels, pour tous pf P1 et P2 sur h, l'angle P1RP2 est l'angle des deux directions correspondant à P1 et P2 dans l'espace 3D.
R est simplement l'image de (0,0,0) ramené sur le plan R^2x{1} par rotation autour de h.
Cette relation horizon / pt rectif encode toute la structure euclidienne du dessin, angles, distance etc.
Ici R1 est le point rectificateur de l'horizon (T2T3), d'où la condition sur les angles. La condition sur les distances vient du fait que, lorsque je passe d'un horizon à un autre, les 4 points rectif sont sur le même cercle centré au point d'intersection.
Il existe donc des triangles qui ont des solutions j'en suis sûr et je peux vous en montrer, mais quelle forme ont-ils en général ?... bah j'en sais rien.
EDIT : pour être clair sur les angles, on peut remplacer T1R3T2 = T2R1T3 = T3R2T1 = 60° par :
T1R3T2, T2R1T3, T3R2T1 égaux à 60° modulo 180°.