Calculer A puissance n matrice.

[Françoisdesantilles]

Salut j'envoi ce message pour être sûr que je ne me suis pas tromper dans le calcul de A^n,
Ma matrice D, le P et le P^-1 sont bon c'est peut être à la fin que ça coince.

https://ibb.co/1mQ21cM

Je vous remercie d'avance pour votre aide

[catamat]

Bonjour
Il y a une erreur de signes, les valeurs propres de la matrice A sont -1 et 2 donc D est à revoir, d'ailleurs si on calcule PDP^-1 on trouve -A au lieu de A.

[Françoisdesantilles]

Ah oui c'est vrai D = ( - 1 0 0 2) "matrice 2 x 2" merci!

[Ben314]

Salut,
Et sinon, les règles de priorité concernant les opération disent que sans parenthèses, c'est égal à et pas (les puissance sont prioritaires sur tout le reste)

Et sinon, ce type de calcul un peu long donc souvent source d'erreurs, c'est quand même assez évident à vérifier à la fin en prenant n=0 (qui doit donner la matrice identité) et n=1 (qui doit donner la matrice de départ).

Enfin, au cas où ça t’intéresse, on peut aussi calculer sans calculer la matrice de passage (modulo de connaitre le théorème de Cayley-Hamilton et d'avoir un mini bagage sur l'arithmétique des polynômes)

[Françoisdesantilles]

Voici ce que j'ai trouvé https://ibb.co/NrsmGF9
Il y a peut être des parenthèse en trop, je vais revoir les priorités opératoires.
Merci les gars!
Je retiendrai l'astuce pour n=0 ça me fera gagné du temps.
Bin oui c'est un peu long et c'est qu'une matrice 2 x 2!
Ah oui ça m'intéresse , je ne connaissais pas cette méthode de Cayley-Hamilton , c'est bon à savoir

[Ben314]

Le théorème de Cayley-Hamilton, il dit que le polynôme caractéristique d'une matrice annule cette matrice.
Ici, le polynôme caractéristique de c'est et le théorème te dit que (la matrice nulle).
Et pour trouver on calcule le reste de la division euclidienne du polynôme par qui, vu que est de degré 2, est de la forme .
Et dans , si on prend et ça donne et et on en déduit que et .
Et pour finir, on a

[Françoisdesantilles]

Waw c'est trop fort ce truc, en gros toute les notions sont liés en maths, ici on se sert des polynôme, des matrice, d'arithmétique aussi avec la division euclidienne, ça permet de ne pas oublié des notions!