Espaces vectoriels

[Neptunefaitdesmaths]

Bonjour,

Je ne comprends pas la fin du raisonnement suivant, pouvez-vous m'aider ?

Soit A une matrice de taille n*n de rang 1 avec n>=2, on en déduit que 0 est valeur propre de A et que le sous espace vectoriel associé à la valeur propre 0 est de dimension n-1.

Il me semble que 0 est vp car A ne peut pas être inversible mais je ne comprends pas pourquoi le sev est de dimension n-1...

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Par définition, le "rang" d'une matrice, c'est la dimension de l'image et le "théorème du rang" te dit que le rang plus la dimension du noyau, c'est la dimension de l'espace de départ.
Ici, l'espace de départ est de dimension n (=nb. de colonnes de la matrice) et le rang vaut 1.
Donc le noyau est de dimension n-1 (et il n'est pas réduit au vecteur nul vu que n>=2 donc 0 est bien valeur propre de la matrice)

[Neptunefaitdesmaths]

Je vois ce que vous voulez dire. Malheureusement le théorème du rang des matrices n'est pas à mon programme (prépa ecg maths appli), je n'ai que celui avec des applications linéaires... Savez-vous comment utiliser ce dernier dans ce cas là ?

[Ben314]

C'est quoi que ton résultat "avec des applications linéaires" ?
Parce que je ne vois pas bien comment un cours qui parle de matrice et d’application linéaires pourrait ne pas parler du lien qu'il y a entre les deux (en dimension finie, c'est la même chose, modulo le choix d'une base).

[Neptunefaitdesmaths]

J'ai le droit d'utiliser le fait que dim E = dim Kerf + rg(f) avec f une application linéaire et E l'ensemble de départ mais pas rg(A)+dimKer(U)=n avec A est une matrice (m, n) et U l'application linéaire de Kn dans Km canoniquement associée à la matrice A.

[Ben314]

Je comprend pas la logique : tu as un théorème, mais en fait tu as pas le droit de l'utiliser ? ? ?
Parce que, de l'énoncer en terme de matrice ou en terme d'application linéaire, c'est bien évidement du pareil au même !

Bref, je ne vois pas comment je peut t'aider à démontrer un truc sans utiliser le théorème qui dit justement le truc en question (et qui, visiblement est dans ton cours . . .)