Application Lineaire

[KhoiHA]

Proposition: Soit u appartenant à L(E,F) - ensemble des applications lineaires de E dans F
On dit que u est surjective si et seulement si Im(u) = F
Je comprends ce que la propostion veut dire, c'est la definition de la surjectivite d'une application.
Mais u est lui meme surjective meme si Im (u) est un s.e.v de F, non ?
Decrivez 2 cercles et vous imaginez.
Soient 5 elements dans E et 3 elements dans F.

[KhoiHA]

Ah oui, si Im(u) est un s.e.v de F.
Cad qu'on se place dans le cas ou l'hypothese de l'injectivite de u est aussi valide.
Si ce serait le cas, on dit que u est a la fois, injective et surjective. Autrement dit, bijective.
Mais alors, on peut dire que u est surjective ou u est injective sans d'être contrainte de mentionner l'autre charactere ?

[Ben314]

Salut,
Je comprend rien à ce que tu raconte . . .
Une fonction absolument quelconque d'un ensemble E dans un ensemble F est dite :
- Surjective lorsque tout élément y de l'ensemble d'arrivé F admet au moins un antécédent.
- Injective lorsque tout élément y de l'ensemble d'arrivé F admet au plus un antécédent.
- Bijective lorsque tout élément y de l'ensemble d'arrivé F admet exactement un antécédent.
Et pour une application linéaire, ben c'est bien évidement les mêmes définitions !
Après, dans le cas des applications linéaires (et dans d'autres contextes aussi), l'ensemble des images des éléments de E est noté im(u) (où u est l'application linéaire) ce qui permet, d'écrire la définition de la surjectivité sous la forme im(u)=F. Si u est linéaire, alors im(u) est un sous-espace vectoriel de F qui peut être égal à F (<=> u surjective) ou . . . ne pas être égal à F(<=> u non surjective).
Concernant l'injectivité, il y a effectivement un lien avec l'image de u, (modulo le théorème du rang si tu l'a vu), mais c'est surtout lié au noyau ker(u) de u (l'ensemble des antécédents du vecteur nul de F) : une application linéaire est injective si et seulement si son noyau ne contient que le vecteur nul de E. Mais contrairement à la surjectivité où (u surjective <=> im(u)=F) est totalement évident, là, il y a une (mini) preuve à faire pour montrer que (u injective <=> ker(u)={0}).

Et enfin, il existe bien sûr des application linéaire bijectives (donc injective et surjectives) ; d'autres injectives mais pas surjectives ; d'autres surjectives mais pas injectives et des qui ne sont ni l'un ni l'autre.
Par contre, un truc important, c'est celui des endomorphismes en dimension finie, c'est à dire des application linéaires d'un espace E de dimension finie dans lui même où le théorème du rang montre que l'injectivité équivaut à la surjectivité.

[catamat]

Bonjour

Juste pour faire un peu surnager les posts parlant de maths au milieu des spams....

Je ne sais pas si ce que je vais écrire est correct, merci de me corriger sinon.

Celui qui a posé la question parlait de "cercles" avec un nombre fini d'éléments, cela m'a amené à chercher des EV ayant un nombre fini d'éléments.

Une solution serait de prendre un corps fini comme, par ex K=Z/2Z, puis définir E ensemble des triplets (toujours par exemple) de K.

Dans ce cas E, de dimension 3, possède 8 éléments
(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)

Un endomorphisme de E pourrait être f qui à (x,y,z) associe (x,y,0)

On aurait Ker f ={(0,0,0), (0,0,1)} de dimension 1
et Imf={(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,0)} de dimension 2

f n'est pas surjective car par ex (0,0,1) n'a pas d'antécédent par f et bien sûr Imf n'est pas égal à E.

Voilà... je répète merci de corriger si c'est n'importe quoi...

[Ben314]

C'est pas du tout n'importe quoi.
A mon époque, on faisait déjà beaucoup d’algèbre linéaire au Lycée mais sur R uniquement, puis à la fac, on reprenait tout, mais un un corps K quelconque (donc par exemple un corps fini) où tout marche exactement de la même façon jusqu'au moment de la diagonalisation où, en fonction du corps, ça peut se passer de façon un peu différente (si le corps est algébriquement clos, ca marche mieux).
Et en ce qui me concerne, il y a un paquet impressionnant de casse têtes que j'ai attaqué en utilisant de l'algèbre linéaire sur Z/2Z pour modéliser des trucs du style Allumé/Éteint ou autres du même accabit.

En plus, dans le cas des corps finis, ça permet en plus de se poser des questions amusantes concernant la cardinalité :
Combien de s.e.v. de dimension donnée ? Combien de matrices inversibles ?

Il y a même une application marrante de la géométrie projective dans un jeu :
https://www.apmep.fr/Dobble-ou-le-plan-projectif-dans

[catamat]

Merci beaucoup Ben314, le plan projectif vu comme cela parai plus concret....
Je vais lire cela attentivement.