Limite de somme

[alb1du29]

Bonjour,
Dans un problème de thermique, il apparait que je dois calculer la limite suivante : quand y tend vers 0 par valeurs supérieures, .

Pour contourner cette difficulté et continuer mon problème, j'ai codé cette limite en python :

Code: Tout sélectionner

import numpy as np

def valeur_limite(y, n_max=1000):
   somme_infinie = 0
   for n in range(1, n_max + 1):
      terme_n = (-1)**n * np.exp(-n**2 * np.pi**2 * y)
      somme_infinie += terme_n
   return somme_infinie

>>> valeur_limite(0.001)
>>> -0.499999999999999

Il apparait donc que la réponse est -1/2 et j'ai pu continuer mon exercice. J'aimerai quand même avoir un vrai raisonnement mathématique qui me permette de le prouver... mais j'ai pas un gros bagage mathématique. Tout ce que je vois c'est une série alternée, la suite est positive et décroit vers 0 donc la série converge effectivement.

J'ai naïvement demandé à ChatGPT de l'aide, il m'a dit qu'on pouvait exprimer analytiquement en fonction de y cette série, à l'aide des fonctions de Jacobi. Je n'ai aucune idée de ce que c'est, et ça m'a l'air bien complexe pour mon problème. J'ai tenté de séparer la somme en indices pairs et impairs, sans succès.

Voilà, si vous avez des pistes de résolution ou des idées simples, je suis preneur !

Merci beaucoup !

Anthony

[ComeDuRondeau]

Hello,
Je n'ai pas de réponse complète mais peut-être des idées pour te mettre sur la piste. Si on passe brutalement à la limite lorsque tend vers on a la somme qui diverge pour la convergence usuelle des séries. En revanche, cette série converge en moyenne de Césaro vers . On dit qu'une série converge en moyenne de Césaro lorsque la suite admet une limite où , la suite des sommes partielles. Lorsque la série converge au sens usuel alors elle converge aussi au sens de Césaro et admet la même limite.

Une façon de prouver ce que tu veux serait la suivante :
1) Prouver que a une limite en (elle est positive donc il suffit de montrer qu'elle est décroissante au voisinage de 0 par exemple (je ne sais pas si c'est le cas)).
2) On pose (les sommes partielles de la série qui t'intéresse).
3) On pose dont on peut montrer facilement que si pair et sinon.
4) Maintenant si converge uniformément sur un voisinage de 0 alors on peut faire une inversion de limite qui donnerait . Ce qui permettrait de conclure puisque par convergence usuelle des qui coïncide avec la convergence en moyenne de Césaro.

Après, je ne sais pas si converge uniformément. converge uniformément car il s'agit d'une série alternée (donc la série des restes est majorée en valeur absolue par le premier terme) mais je ne sais pas si la convergence uniforme passe à la moyenne de Césaro (je dirais que oui).

J'espère que ça a pu te donner des idées, je sais que ce que je propose est un peu flou mais comme il n'y avait pas encore de réponses je me suis dis que c'était mieux que rien.