Question loi géométrique

[ComeDuRondeau]

Salut,

Petite question concernant les variables aléatoires suivant une loi géométrique. On dit qu'il s'agit de la loi du premier succès et donc que les variables aléatoires sont à valeurs dans . Sauf que le fait de n'avoir que des échecs est bel et bien un évènement qui correspondrait à un premier succès infini.

Donc, en toute rigueur, on devrait dire qu'une variable suivant une loi géométrique est à valeurs dans avec ? Dans ce cas comment calculer l'espérance rigoureusement ?

Je trouve que Wikipédia (anglais et français) est plutôt flou sur cette question avec ses notations .

Merci !

[Ben314]

Salut,
On peut effectivement considérer que le valeur +oo est une des valeurs que peut prendre une loi géométrique, mais ça ne changera rien au modèle :
En théorie générale de l'intégration, on accepte les fonctions à valeur dans donc pouvant prendre la valeur +oo (avec, bien sûr l'intégrale d'une telle fonction qui est aussi dans ) et le modèle qu'on a (de définition de l'intégrale) fait que, si une fonction prend la valeur +oo sur un ensemble de mesure nulle (et la valeur 0 ailleurs) alors cette fonction est effectivement intégrable et son intégrale vaut 0.
Dit de façon simpliste, ça signifie que, dans ce contexte, n'est pas du tout indéterminé : ça vaut zéro.
Et par rapport à ta question, ça explique que, si on considère que la v.a.r. peut prendre la valeur +oo, mais avec une proba nulle, ça ne changera rien au différents calculs qu'on pourra faire avec.

Après, on peut effectivement se poser la question de savoir si, sur le plan théorique, ça ne serait pas "plus pointilleux" de considérer que "le vrai" modèle est à valeur dans plutôt dans .
(En ce qui me concerne, c'est un type de question qui ne m’intéresse pas franchement : je sais que les deux visions donnent les mêmes résultat et je laisse à d'autre le soins de polémiquer pour savoir quel est la "bonne" vision . . . )

[lyceen95]

N'avoir que des échecs, avoir un succès au tirage n° infini ... non.
Si j'ai fait lancers, et que je n'ai eu que des échecs, je continue de lancer.

A aucun moment je ne peux dire : l'expérience est terminée et je n'ai eu que des échecs. Par définition, si je n'ai eu que des échecs, c'est que l'expérience n'est pas finie, et je dois continuer de lancer ma pièce en attendant qu'elle donne un succès.

[Ben314]

N'avoir que des échecs, avoir un succès au tirage n° infini ... non.

Et pourtant . . .
Le modèle mathématique théorique pour définir une suite dénombrable d'épreuves de Bernoulli indépendantes, c'est de considérer l'espace (muni de la tribu et de la mesure qui vont bien).
Et dans cet espace, l'élément existe bel et bien avec .

[lyceen95]

mouais ...
En fait, pour donner un sens concret à tout ça, je considère qu'on limite le nombre de lancers à un nombre , s'il n'y a eu aucun succès sur ces lancers, on considère que le premier succès est au rang .
On fait tous les calculs avec ces règles, on n'a pas de souci avec l'infini.
Puis on regarde la limite de tout ça quand tend vers l'infini.
Mais je sais que j'ai une vision pas très académique des maths.

[Ben314]

C'est une façon de voir les choses, mais au niveau des calculs, ça complique pas mal vu que tu va traîner plein de trucs du style bien plus chiant que la somme "complète" .

Perso., le point de vue de Wiki. consistant à dire qu'il y a bien une infinité de valeur possibles pour le résultat (donc on ne limite pas le nombre de tirages) mais par contre, la valeur , discrètement, on n'en parle pas, ça me semble relativement défendable au niveau pédagogique (si personne ne pose de question, tant mieux . . .)

La mode actuelle consistant à mettre des proba. et des stat. dans les tout les programmes y compris des "pas super forts en math." par exemple au Lycée, je trouve ça complètement idiot (à mon sens, il n'y a rien de plus dangereux qu'un type qui utilise des stats. sans rien comprendre aux calculs qu'il fait), mais si on doit forcément le faire (par exemple si on est prof. et qu'on doit se tenir aux programmes...), ben il faut évidement pas mal simplifier le bidule.

EDIT : Je viens d'aller regarder la page de Wiki. Je ne sais pas si c'est volontaire ou pas, mais en fait ils n'écrivent nulle part , mais plutôt .
D'où la question existentielle s'il en est : est ce que ?

[ComeDuRondeau]

Merci à vous deux pour vos réponses.

Lycéen je comprends tout à fait ta remarque. C'est vrai que nommer "infini" le premier succès lorsqu'il n'y en a pas est davantage une convention justifiée par la réponse de Ben que quelque chose qui découle de la définition. Mea culpa... Reformulé plus correctement mon problème serait plutôt :

lorsqu'on définit une loi géométrique on doit assigner une valeur à l'évènement ce qu'on ne fait pas en pratique, est-ce que cela pose problème ?

Je pensais à un exemple plus simple qui peut peut-être permettre d'y voir plus clair. Si on considère un lancer de pièce équilibrée qu'on représente par une variable aléatoire à valeurs dans (Pile, Face et Tranche) et qu'on décrit sa loi par et alors ça ne change rien de considérer seulement sur . En d'autre terme restreindre l'univers de départ de telle sorte que les évènements qui mène à un résultat de probabilité nulle soient éliminés ne change rien.
On aurait alors évènement indésirables ne change rien au problème que l'on se pose.
Pour une loi géométrique on aurait alors
bien définie...

Je me posais cette question en rédigeant mes exercices de colle. C'est toujours le bazar de rédiger correctement les corrections en proba. Certainement, car comme l'a souligné Ben, lorsque j'étais étudiant on ne voyait pas tant de proba et je suis moins familier pour les manipuler que les autres domaines (ou alors c'est cette matière qui est particulièrement pénible à rédiger )