Similarité de matrices

[Marcet003]

Bonjour,

Si deux matrices carrées sont semblables, alors elles ont les mêmes valeurs propres et aussi les même multiplicités géométriques associées à chaque valeur propre. La réciproque de cette proposition est-elle vraie ?
En fait, j'aimerais trouver une condition suffisante pour savoir si deux matrices sont semblables à partir de leurs valeurs propres et de leurs espaces propres d'où l'idée de partir de la proposition ci-dessus...

Merci d'avance...

[Ben314]

Salut,
Non, avec uniquement les valeurs propres et la dimension des s.e.v. propres ce n'est pas suffisant pour savoir si deux matrices sont semblables ou pas :
1) Déjà, si tu ne suppose pas le corps algébriquement clos, il est tout à fait possible que tes matrices n'ai aucune valeur propre et tu n'en déduira pas grand chose.
2) Même en supposant le corps algébriquement clos, ce n'est pas suffisant, comme le montre l'exemple de et où je te laisse vérifier qu'elles ont les mêmes valeurs propres et que les s.e.v. propres sont de même dimension mais qu'elles ne ne sont pas semblable.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Le sous-espace propre associé à la valeur propre est . L'exemple de Ben314 montre que les dimensions des sous-espaces propres ne suffisent pas. Mais les dimensions des espaces où varie, qui sont aussi invariantes par similitude, suffisent. On suppose bien sûr s'être placé sur un corps algébriquement clos pour avoir toutes les valeurs propres sous la main.

[Marcet003]

Merci pour vos réponses.
Pour le contre exemple, effectivement j'ai regardé. Et pour les valeurs propre {0, 1} commune aux deux matrices je trouve 2 s.e.v de dimensions 1. Comme les matrices ne partagent pas la même trace, elles ne sont pas semblables.
@GaBuZoMeu
Pouvez vous m'expliquez plus en détails comment faire avec la variation de p et pourquoi la condition marche ?

[GaBuZoMeu]

Comment faire avec la variation de ? On regarde les dimensions de pour en s'arrêtant quand la suite croissante stationne (on a alors atteint le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre ).
On peut alors fabriquer une base de l'espace telle que, après changement de base, on obtient la réduite de Jordan de la matrice . Deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont mêmes réduites de Jordan, à l'ordre des blocs de Jordan près (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9duction_de_Jordan). Tout ceci sur un corps algébriquement clos.

[Marcet003]

Merci !