Série de Fourier

[Espeluque]

Bonjour récemment j'ai eu des cours concernant les espaces de Hilbert et les séries de Fourier, et je me posais quelques questions:

Concernant les séries de Fourier, on a vu la théorie L2. On a montré que les polynômes trigonométriques complexes forment une base Hilbertienne de L2, la décomposition d'une fonction périodique f dans cette base (sa série de Fourier) en découle.

On a vu par la suite un théorème qui nous montre l'égalité entre f et sa série de Fourier pour presque tout x dans R.

Et au chapitre suivant on a étudié la convergence ponctuelle de la série de Fourier vers f.

C'est la qu'arrivent mes questions: Je ne comprends pas la différence entre toutes notions, puisque f admet admet une décomposition dans une base Hilbertienne n'a-t-on pas déjà l'égalité pour presque tout x dans R ? Et puisque que l'on a l'égalité pour presque tout x dans R ne s'agit t'il pas déjà d'une convergence ponctuelle en ces points ?

Merci d'avance pour votre aide.

[Ben314]

Salut,
Oui, mais le but du jeu, c'est, dans le cas des fonctions relativement régulières (*), de cerner bien plus précisément qui sont ces fameux "presque tout" x pour lesquels il y a convergence et même de déterminer vers quoi converge la série de Fourrier dans les cas où elle ne converge pas vers la fonction f (ça converge vers la "valeur moyenne")
Bref, ça permet d'être bien plus précis concernant la convergence de la série de Fourrier que de juste savoir que "ça converge presque partout".

(*) Le bon contexte étant les fonctions à variations bornées, mais il est possible que ton prof. se restreigne au cas des fonction C^1 par morceaux pour éviter d'avoir à définir ce que sont les fonctions à variation bornée.

[Espeluque]

Merci beaucoup, j'ai fini par comprendre et votre réponse confirme ce que je pensais, le sujet est clos !