Application du théorème des accroissements finis

[arnaud974REUNION]

Bonjour ,
Je suis en pleine révision pour ma partiel de mathématique (plus précisément en Analyse) qui va porter sur la continuité, limite et dérivation des fonctions. Pour m'entrainer je vais donc consulter les annales d'Analyse (il n'y a pas de correction sur cette annale) et je bloque donc sur un des exercices (l'exercice 10). https://prnt.sc/pU8mKzmRf0Gw

J'ai donc déjà essayé de calculer f'(c) en espérant que ce soit égale à c^3 mais rien a faire j'ai beau essayer de faire tout ce qui me passe par la tête je n'y arrive pas .
Je sollicite donc votre aide pour m'aider à comprendre comment répondre à cette question (le cheminement mathématique pour y arriver) cela me serait d'une grande aide, je vous remercie d'avoir pris le temps de lire mon message !

Bonne journée.

[Ben314]

Salut,
à mon avis il y a une faute de frappe (il doit manquer un 2) vue que je vois pas trop comment utiliser le théorème des accroissement finis ici.
Je pense que l'idée, c'était (évidement) de l'appliquer à la fonction sur l'intervalle ce qui donne l'existence d'un tel que c'est à dire soit encore .
Et à mon avis c'est là qu'il y a eu une faute de frappe dans l'énoncé.

Sinon, le demandé dans la question existe bel et bien (dans ) et pour montrer son existence il suffit d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaire à la fonction (continue) sur pour en déduire qu'il existe un tel que ce qui est bien la relation demandée.

[arnaud974REUNION]

Bonsoir,
Tout d'abord merci d'avoir pris le temps de répondre a ma question !
J'avais trouvé la même réponse que vous pour l'exercice 10 mais je ne me doutais pas qu'il y aurai pu y avoir une faute de frappe.
Par contre je ne suis pas sur de comprendre à la fin quand vous dites que f'(c) = 2e^(-1), car je trouve (en utilisant le théorème des accroissements finis) que f'(c) = e^(-1). Donc je suppose que vous multipliez par 2 car vous prenez en compte la faute de frappe ? Or me suis-je tromper dans mon calcul ?

[Ben314]

Dans la fin de mon post précédent, je cherche à montrer que le résultat demandé par l'énoncé (sans modification) est effectivement correct. Sauf que je n'utilise pas le théorème des accroissements finis, mais le théorème des valeurs intermédiaire sur la fonction (qui est bien continue)
:
et . Sauf que (mini calcul) ce qui implique que, pour très proche de , on a donc il y forcément (T.V.I.) un point tel que c'est à dire tel que .