équation diphantienne

[Françoisdesantilles]

Bonjour à tous, j'envoi ce message non pas pour avoir de l'aide pour une correction personnelle, mais pour un exercice plus particulier, une correction d'élève , voici l'exercice :

https://ibb.co/M8Jfv91

Les questions à traiter
1. Analyser la réponse des trois élèves en mettant en évidence leurs réussites ainsi que leurs erreurs. Vous préciserez l'accompagnement que vous pouvez leur proposer.
2. Proposer une correction de l'exercice telle que vous l'exposeriez devant une classe de terminale Option Mathématiques Expertes.

Le premier élève n'a pas tort mais il n'a trouvé qu'une solution alors qu'il y en a 4(couples).

Je me demande si on pouvais prédire qu'il y avait 4 couple d'ailleurs.

Un simple tableur , tableau de valeur permet de trouver les solutions:
f(0) = 76.923077
f(1) = 75.461538
f(2) = 74
f(3) = 72.538462
.............

On sait que 19x + 13y =1000

y=(1000-19x)/13

valeur possible de x =2 , 28 , 41,15

valeur y =74, 36 , 17, 55

Le deuxième élève a raison mais il lui manque deux couple, il y a une erreur dans son programme je pense

[Françoisdesantilles]

Voici ce que j'ai pû rajouter : https://ibb.co/tb0Wz9b ( ce que j'ai écrit n'est pas toujours utile à la compréhension de l'exo ou des réponses de l'élève mais j'ai essayé).

[Françoisdesantilles]

https://ibb.co/GVCw2rk (le fait que 13 et 19 soient premier c'est inutile je l'avoue)

[Françoisdesantilles]

L'utilisation d'un tableau de valeur ou de l'équation f(x) =1000... n'est pas une démonstration, aucun des deux n'a utiliser les notion d'algèbre. le premier élève a trouver la solution ,particulière sans en être conscient mais il manque la solution générale.pour trouver tout les couples!

[ADILON]

Bonjour,
L'équation 13x+19y=1000 admet des solutions dans Z×Z , une solution particulière peut être déterminer par l'algorithme d'Euclide et l'ensemble des solutions sera immédiatement exprimé en fonction de la solution particulière. Et comme on s'intéresse aux solutions naturelles on peut donc encadré le k dans l'ensemble des solutions et on arrive à k=0, -1, -2 et -3.
On revenant aux élèves, la première solutions proposées ramène à une seule solutions parmis les quatres car l'élève a supposé que 2-x est un entier naturelles qui est faux car on parle de la division dans Z, donc il peut rattraper sa faute vite.
La deuxième solution est sous forme d'un algorithme mais la condition 52 de la deuxième "pour" est insuffisante, on peut le recommander par le nombre 75.
J'espère ceci vous convient.

[Françoisdesantilles]

Bonjour,
L'équation 13x+19y=1000 admet des solutions dans Z×Z , une solution particulière peut être déterminer par l'algorithme d'Euclide et l'ensemble des solutions sera immédiatement exprimé en fonction de la solution particulière. Et comme on s'intéresse aux solutions naturelles on peut donc encadré le k dans l'ensemble des solutions et on arrive à k=0, -1, -2 et -3.
On revenant aux élèves, la première solutions proposées ramène à une seule solutions parmis les quatres car l'élève a supposé que 2-x est un entier naturelles qui est faux car on parle de la division dans Z, donc il peut rattraper sa faute vite.
La deuxième solution est sous forme d'un algorithme mais la condition 52 de la deuxième "pour" est insuffisante, on peut le recommander par le nombre 75.
J'espère ceci vous convient.

Merci beaucoup pour votre aide, je comprends ce que vous dites pour l'algorithme d'Euclide.Z xZ c'est l'ensemble des couples d'entiers relatifs je vois.
Pour le premier élève du coup il faut qu'il écrive que 2-x est un entier relatif je vois. Pour le deuxième élève je crois que c'est 75 ou 76 oui car 76 est le quotient de la division euclidienne de 1000 par 13

[ADILON]

De rien

[lyceen95]

Sauf erreur
PGCD(13,19)=247
PartieEntiere(1000/247)=4
Donc 4 solutions.
On pouvait deviner qu'il y aurait 4 solutions.

[Ben314]

Salut,

PGCD(13,19)=247

Petite faute de frappe : 247 = 13 x 19, c'est le Plus Petit Commun Multiple (=PPCM) de 13 et 19 et pas le Plus Grand Commun Diviseur (=PGCD) qui, lui, vaut 1.