Diffeo locale

[Momodu068]

Bonsoir , alors voila j'ai une question qui me tracasse l'esprit.

Soit f:U dans V , je ne comprend pas pourquoi dire que f est un C1-diffeomorphisme local sur U ( C1 -diffeomorphisme local en tout point de x de U ) c'est pas équivalent à dire que f est un diffeo global sur U (vu que la on dit bien que c'est en tout points x donc les prop de diffeo sont verifié non ?).

[Ben314]

Salut,
La raison est simple : être "localement injective", ça n'implique absolument pas d'être globalement injective.
Par exemple, la fonction est bien localement injective (et c'est bien un difféomorphisme local) mais elle n'est pas globalement injective (donc ce n'est pas un difféomorphisme global).

[Momodu068]

merci pour ta réponse !! mais "etre localement injective sur tout pts de l'ensemble '' sa n'implique pas globalement injective ?

[Ben314]

Ben . . . non : si tu sait que pour tout a point de U, il existe un voisinage V(a) tel que la restriction de f à V(a) soit injective, ben ça implique absolument pas que f est injective.
Pour faire encore plus simple, la fonction est évidement localement injective (vu que ses restriction à ]-oo,0[ et à ]0,+oo[ sont injective), mais, tout aussi clairement, elle n'est pas globalement injective (et, de nouveau, c'est un difféomorphisme local qui n'est pas un difféomorphisme global).

Bref, être localement injectif, ça signifie que quand tu regarde un et son associé, il existe un petit voisinage de tel que, sur ce voisinage, est la seule solution de . Mais absolument rien n’empêche qu'il y ait d'autres solution à l'équation situées "un peu loin" de (en dehors du fameux voisinage en fait).

[Momodu068]

Merci bcp !!! c'est bcp plus clair