Calcul d'intégrale

[Anonyme]

Voila je suis bloqué a une question de cet exercice sur le calcul d'intégrale.

Le but de cet exercice est de montrer que Lim Sn = 2 /Pi
(n--> +inf)

où Sn= (1/n)[f(0)+f(1/n)+f(2/n).....+f(n-1/n)] e n est naturel strictement supérieur a 2 et f(x)=sin(Pix)

pour la question a) il demandait de prouver que 1+ei Pi/n +ei 2Pi/n + ... +ei (n-1)Pi/n= 2/(1-eiPi/n)

On remarque directement que c'est une suite Géométrique de raison eiPi/n et on prouve facilement l'égalité

Mais moi je bloque a la question suivante lorsqu'il demande d'en déduire que

sin(Pi/n)+sin(2Pi/n)......+sin((n-1)Pi/n)= (cosPi/(2n))/(sinPi/(2n))

puis finalement de prouver que Lim Sn = 2 /Pi
(n--> +inf)

Aidez moi SVP

[flagos]

Salut,

Tu auras bien remarque que la somme des sinus est la partie imaginaire de la somme des exp complexes (ss ca il est pas trop tard...) Donc la partie imaginaire de 2/(1-exp(i Pi/n) c'est cos (pi/n)/sin(Pi/2n)... en tout cas c'est ce qu'il s'agit de montrer ! Voici une méthode classique dite de l'angle milieu:

2/(1-exp(i pi/n)) = 2/[exp (i pi/2n)*(exp(-i pi/2n)-exp(i pi /2n))]
(Euler) = i/[exp(i pi/2n) * sin(pi/2n))
= exp(pi/2 - pi/2n)/sin(pi/2n)
on peut maintenant calculer la partie imaginaire de 2/(1-exp(i pi/n)):
Im = sin(pi/2 -pi/2n)/sin(pi/2n) "car sin(pi/2n) est un reel !"
= cos (pi/2n)/sin(Pi/2n)

C'est un calcul long mais neanmoins classique je te conseille de le refaire pr bien le maitriser. Ensuite la limite de la suite Sn = cos (pi/n)/sin(pi/n)...
Tu vois que (pi/n) tend vers 0. Etudions la limite en 0 de la fonction de cos(x)/sin(x)

On sait que lim sin(x)/x =1.
cos(x)/sin(x)=x*cos(x)/(x*sin(x))
d'ou a la limite: = lim(x->0) cos(x)/x

Ainsi lim Sn=lim cos(pi/2n)/(pi/2n)*n=pi/2

:cool:

[Anonyme]

Ouais, tout à fait.

[Anonyme]

Sans aucun doute, CQFD

[Anonyme]

1 + 1 = 3

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[Anonyme]

C'est une perte de temps les maths, il faut faire plutôt ... heu, rien en fait, mieux vaut ne rien faire :)