Définition formelle du quadrilatère

[chombier]

Bonjour,
Ceci est une question très sérieuse, car bien qu'enseignant je ne connais pas la définition d'un quadrilatère, et je ne trouve pas de définition satisfaisante.
Qu'on se place dans l'axiomatique d'Euclide (ou celle de Hilbert) ou dans le cadre d'un espace affine dirigé par , la définition doit j'imagine être similaire.

Le quadrilatère est-il un quadruplets de points ou un sous-ensemble du plan ?

Est-ce que un quadruplet de points (A,B,C,D) forme toujours un quadrilatère ? (Sans unicité puisque alors on aurait, par exemple, ABCD = CBAD)

Si A, B et C sont alignés, ABCD est-il un quadrilatère ?
Si A et B sont confondus, ABCD est-il un quadrilatère ?

Je sais que c'est bizarre comme question, mais cela fait des années que cela me hante

[Ben314]

Salut,
Perso., j'ai toujours considéré que le mot "quadrilatère" était (comme tant d'autre) un peu "fourre tout" et que la définition qu'il faut en prendre dépend du contexte.
A priori, c'est effectivement forcément 4 points, mais contrairement à toi, j'aurais tendance à considérer que le quadrilatère ABCD est différent de CBAD vu qu'il n'ont pas les mêmes cotés (=segments formés de deux sommets successifs du quadrilatère).
Par contre, toujours à mon sens, le quadrilatère ABCD est bien le même que BCDA.
Après, ça ne me dérange absolument pas que sur les 4 points il y en ait d'alignés, (voire même éventuellement de confondus) et pour préciser qu'on est pas dans ce cas de figure, j'aurais tendance à écrire un truc du style "quadrilatère non dégénéré" en précisant éventuellement ce que j'entend par là.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Pour moi CBAD a les mêmes côtés que ABCD. Ben314, as-tu fait un dessin ?

[Ben314]

Je pourrait toujours prétendre que l'un des deux est un "quadrilatère direct" et pas l'autre, mais bon, en fait, c'est surtout que j'ai lu de travers . . .

[Kolis]

En principe je fais la différence entre "quadrangle" (ensemble de 4 points) et "quadrilatère" (ensemble de 4 droites).

[tournesol]

Contente toi d'utiliser une définition en rapport avec le niveau auquel tu enseignes , le critère pédagogique étant de ne pas malmener l'acquis de tes élèves.
Pour les exos à notre niveau , cela dépend du contexte:proprietes affines , metriques , topologiques,etc.
Dans ces cas la définition est souvent précisée.

[lyceen95]

Pour moi, un quadrilatère est orienté. ABCD = BCDA, mais ABCD ADCB

Quadrilatère 'dégénéré' : oui, pour moi, c'est le mot clé qui ressort quand je lis la question. On ne peut pas répondre à cette question sans utiliser quelque part cet adjectif. Et idem, le mot 'fourre-tout' décrit assez bien la situation.

C'est quoi la nature d'un quadrilatère ? Est-ce une surface, est-ce un quadruplets de points ... est-ce un quadruplet de segments ?
Réponse subjective : ce n'est pas une surface, mais plutôt le contour de la surface, et plus précisément, un contour orienté. Mais ce n'est que ma vision. Et comme dit Tournesol, le contexte et le public à qui on s'adresse sont essentiels.

[chombier]

Merci pour vos réponses

En l'occurence je m'adresse à des lycéens, donc je considère implicitement que les quatre sommets d'un quadrilatère sont distincts deux à deux et que trois sommets consécutifs ne sont pas alignés. Je dis aussi qu'un quadrilatère croisé, c'est un objet qu'on n'a pas envie de manipuler.

Pour les triangles, au niveau lycée toujours, j'exige uniquement que les trois sommets soient distincts deux à deux, le triangle plat étant un triangle qui existe, mais qui pour le coup est dégénéré. Il n'a pas d'orthocentre par exemple.

Je vous avoue que j'ai été un peu choqué de voir que dans le livre de Michèle Audin, les mots "triangle" et "quadrilatère" étaient utilisés sans être définis.

[GaBuZoMeu]

le triangle plat étant un triangle qui existe, mais qui pour le coup est dégénéré. Il n'a pas d'orthocentre par exemple.

Mais si, c'est juste que son orthocentre est à l'infini dans la direction orthogonale à celle de la droite portant les côtés du triangle (et il est confondu avec le centre du cercle circonscrit).

[GaBuZoMeu]

Et que sont les cercles inscrit et exinscrits du triangle aplati ?

[chombier]

Si C appartient à ]AB[, le cercle inscrit au triangle ABC est de centre C et de rayon 0.

Les cercles exinscrits je ne connaissais pas, merci pour la découverte

Je pense qu'il va en y avoir deux de rayon nul et un donc le centre est avec l'orthocentre, un centre à l'infini et un rayon infini.

[GaBuZoMeu]

Oui, les cercles inscrits et exinscrits deviennent les trois cercles-points aux sommets et la droite support des côtés.

[tournesol]

On est pas obligé de définir le quadrilatère d'un seul bloc.
On peut dire par exemple que c'est un quadruplet de points appelés sommets.
Ensuite il a des attributs: des côtés, des diagonales,une enveloppe convexe,etc
Ces attributs ne sont pas des parties du quadrilatère .

[chombier]

On est pas obligé de définir le quadrilatère d'un seul bloc.
On peut dire par exemple que c'est un quadruplet de points appelés sommets.
Ensuite il a des attributs: des côtés, des diagonales,une enveloppe convexe,etc
Ces attributs ne sont pas des parties du quadrilatère .

Il faut quotienter quand même, car le quadruplet (A,B,C,D) est identique en tant que quadrilatère au quadruplet (C, B, A, D).

Voila la définition que j'aurais donnée d'un polygone à n côtés "pas moche" : c'est un n-uplet (n>=3) de points modulo les permutations circulaires et les inversion, tel que trois points "consécutifs" ne sont pas alignés, tous les points sont distincts deux à deux, et que l'intersection de deux arêtes est réduite à un point ou l'ensemble vide.

Après réfléxion, c'est assez lourd finalement

[tournesol]

ligne brisée fermée qui est une courbe de Jordan...