Limite d'une suite convergente

[Wxllmlh]

Bonjour , j'ai un DM de spécialité qui nous dit :
Supposons que la suite (u_{n}) converge vers deux limites distinctes I et l' telles que l' > l.

1. On note epsilon = l' - l , I=] l - e/3 ; l + e 3 [ et I^ prime =] l' - e/3 ; l' + e/3 [.
Soit a un nombre réel quelconque appartenant à I, montrer que a n'appartient pas à I'. En déduire I cap I'.

2. En utilisant la définition de lim u_{n} = l montrer qu'à partir d'un certain rang N_{1} tous les termes de la suite appartiennent à I. Puis faites de même pour l'.

J'ai pu résoudre la question n°1 mais je bloque pour la question n°2 , j'aimerais de l'aide s'il vous plait.

[Rdvn]

Bonsoir,
Un coup de pouce , en suivant le plan de votre exercice :

lim (u(n)) = l , donc , d'après la définition , il existe un entier N tel que : n > N implique u(n) appartient à I
De même il existe un entier N' tel que : n>N' implique u(n) appartient à I'
Soit M = max(N,N')

Que se passe-t-il pour n> M ?
A vous ...

PS j'ai rectifié ma première rédaction :
on ne peut pas dire "l est la limite" pour le moment , puisqu'on doit prouver l'unicité de la limite,
(sous réserve d'existence), je reprends la notation de l'énoncé