Base duale

[ludovic44]

Bonjour,

On considère une base d'un e.v E de dimension n.

On considère les formes linéaires définies par: si et 0 sinon.

J'ai bien compris pourquoi les forment une base de mis à part le fait que je bloque (certainement bêtement) pour prouver que ces applications sont linéaires.

Cela semble à chaque fois admis car trivial dans les différentes sources que j'ai pu lire.

Soit . On peut écrire . De même, Soit . On peut écrire .

=???


Je ne vois vraiment pas comment montrer cela !

Merci pour votre aide

[Kolis]

Tu dis que tu as des formes linéaires et tu demandes pourquoi elles le sont ? Ou alors je n'ai pas compris ton problème !

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
La définition de la base duale te dit que .

[ludovic44]

Bonjour, merci pour vos réponses !
Kolis: je ne suis pas très clair, je voulais dire que je sais que ce sont des formes linéaires mais je n'arrive pas à le prouver !
GaBuMeu: moi j'aimerais partir de la définition des que j'ai donné. Et puisqu'il s'agit de formes linéaires (même si je n'arrive pas à le prouver), alors le fait qu'elles associent à un vecteur sa coordonnées est alors une conséquence de cette linéarité non ?
Si , alors .

[GaBuZoMeu]

Tu sembles oublier un résultat basique d'algèbre linéaire que tu as déjà sûrement vu.
Soit une base de l'espace vectoriel et soit une famille d'éléments de l'espace vectoriel . Alors il existe une unique application linéaire telle que pour , et cette application linéaire est définie par .
Rappel : une forme linéaire, ce n'est pas autre chose qu'une application linéaire à valeurs dans le corps de base.

[ludovic44]

Oui, en effet, je n'avais pas en tête ce résultat ! Je vais creuser, merci

[tournesol]

Tu veux démontrer que ces formes sont linéaires à partir de leur définition.
Par exemple motrer que est linéaire.
Si sa définition est:
l'unique forme linéaire telle que et pour tout i supérieur à 1 , ,
alors il n'y a rien à démontrer puisque est lineaire par hypothèse.
Si sa définition est la fonction première coordonnée dans la base , c'est à dire alors on peut montrer la linéarité:
Soient a et b deux réels , et

[ludovic44]

Merci pour cette réponse détaillée.
Ce que je n'avais pas bien cerné, c'était plutôt avec la première définition. Car lorsqu'on dit, par définition, la forme linéaire telle que si i=j et 0 sinon, alors cette définition n'a de sens que si cette forme linéaire existe.

[GaBuZoMeu]

orsqu'on dit, par définition, la forme linéaire telle que si et sinon, alors cette définition n'a de sens que si cette forme linéaire existe.

Une nouvelle fois, tu devrais bien te rentrer dans la tête qu'on définit une et une seule application linéaire en donnant les images des vecteurs d'une base de l'espace de départ !

[ludovic44]

Oui oui, tout à fait, j'ai bien compris à l'aide de ton précédent message. Merci encore