Base duale
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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ludovic44
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par ludovic44 » 14 Oct 2023, 07:34
Bonjour,
On considère une base
d'un e.v E de dimension n.
On considère les formes linéaires
définies par:
si
et 0 sinon.
J'ai bien compris pourquoi les
forment une base de
mis à part le fait que je bloque (certainement bêtement) pour prouver que ces applications sont linéaires.
Cela semble à chaque fois admis car trivial dans les différentes sources que j'ai pu lire.
Soit
. On peut écrire
. De même, Soit
. On peut écrire
.
=???
Je ne vois vraiment pas comment montrer cela !
Merci pour votre aide
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Kolis
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par Kolis » 14 Oct 2023, 11:01
Tu dis que tu as des formes linéaires et tu demandes pourquoi elles le sont ? Ou alors je n'ai pas compris ton problème !
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 14 Oct 2023, 11:56
Bonjour,
La définition de la base duale te dit que
.
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ludovic44
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par ludovic44 » 14 Oct 2023, 13:42
Bonjour, merci pour vos réponses !
Kolis: je ne suis pas très clair, je voulais dire que je sais que ce sont des formes linéaires mais je n'arrive pas à le prouver !
GaBuMeu: moi j'aimerais partir de la définition des
que j'ai donné. Et puisqu'il s'agit de formes linéaires (même si je n'arrive pas à le prouver), alors le fait qu'elles associent à un vecteur
sa
coordonnées est alors une conséquence de cette linéarité non ?
Si
, alors
.
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 14 Oct 2023, 13:56
Tu sembles oublier un résultat basique d'algèbre linéaire que tu as déjà sûrement vu.
Soit
une base de l'espace vectoriel
et soit
une famille d'éléments de l'espace vectoriel
. Alors il existe une unique application linéaire
telle que
pour
, et cette application linéaire est définie par
.
Rappel : une forme linéaire, ce n'est pas autre chose qu'une application linéaire à valeurs dans le corps de base.
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ludovic44
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par ludovic44 » 14 Oct 2023, 16:25
Oui, en effet, je n'avais pas en tête ce résultat ! Je vais creuser, merci
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tournesol
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par tournesol » 14 Oct 2023, 23:16
Tu veux démontrer que ces formes sont linéaires à partir de leur définition.
Par exemple motrer que
est linéaire.
Si sa définition est:
l'unique forme linéaire telle que
et pour tout i supérieur à 1 ,
,
alors il n'y a rien à démontrer puisque
est lineaire par hypothèse.
Si sa définition est la fonction première coordonnée dans la base
, c'est à dire
alors on peut montrer la linéarité:
Soient a et b deux réels ,
et
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ludovic44
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par ludovic44 » 15 Oct 2023, 08:47
Merci pour cette réponse détaillée.
Ce que je n'avais pas bien cerné, c'était plutôt avec la première définition. Car lorsqu'on dit, par définition, la forme linéaire telle que
si i=j et 0 sinon, alors cette définition n'a de sens que si cette forme linéaire existe.
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 15 Oct 2023, 09:47
orsqu'on dit, par définition, la forme linéaire telle que
si
et
sinon, alors cette définition n'a de sens que si cette forme linéaire existe.
Une nouvelle fois, tu devrais bien te rentrer dans la tête qu'on définit une et une seule application linéaire en donnant les images des vecteurs d'une base de l'espace de départ !
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ludovic44
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par ludovic44 » 15 Oct 2023, 10:58
Oui oui, tout à fait, j'ai bien compris à l'aide de ton précédent message. Merci encore
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