Factorisation dans R sans racine

[matheuxendetresse]

Bonjour,

Vous savez comment factoriser ce polynôme, il n'a pas de racines en R

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Factoriser sur quoi ? Sur les entiers, sur les réels, sur les complexes ?

[matheuxendetresse]

Bonjour,
Factoriser sur quoi ? Sur les entiers, sur les réels, sur les complexes ?

Sur R, sur C cela donne:

Sur R, si je me trompe pas, cela est donné ainsi non?:

Et idem pour la racine conjuguée, puis on aura:

[GaBuZoMeu]

Je ne comprends pas trop bien ta dernière écriture. Pourquoi ces quatre facteurs ?
Les facteurs complexes du premier degré se regroupent avec leurs conjugués pour donner des polynômes irréductible du second degré sur .

[matheuxendetresse]

Je ne comprends pas trop bien ta dernière écriture. Pourquoi ces quatre facteurs ?
Les facteurs complexes du premier degré se regroupent avec leurs conjugués pour donner des polynômes irréductible du second degré sur .

Oui je regroupe les facteurs à une racine avec les facteurs à la racine conjuguée pour avoir la décomposition sur , j'ai écrit quatre car j'ai deux polynômes:

Et

Donc je le fais pour chacun des deux.
Mais je suis pas sûr de l'indice que je dois mettre au dessus du produit, et si je dois faire une distinction des cas selon la parité de n.

[GaBuZoMeu]

Les deux polynômes que tu écris sont conjugués. Ne vaudrait-il pas mieux regrouper un facteur de l'un avec le facteur conjugué de l'autre ?

[matheuxendetresse]

Les deux polynômes que tu écris sont conjugués. Ne vaudrait-il pas mieux regrouper un facteur de l'un avec le facteur conjugué de l'autre ?

Je sais pas si c'est possible car je vois pas comment leurs racines soient conjuguées, sinon pour le calcul que j'ai fait, j'ai fait une séparation des cas:

Et pour l'autre j'aurai:

Comme ça j'aurai une factorisation sur , et on peut faire la même chose pour le cas de n impair; mais je sais pas s'il y a une autre méthode pour le factoriser sur sans passer par cela.
Et je sais pas aussi si j'ai fait des bêtises.

[GaBuZoMeu]

Bien sûr que si, des polynômes conjugués ont des racines deux à deux conjuguées.
Ici, c'est très simple : la racine du premier polynôme est conjuguée à la racine du second.

[matheuxendetresse]

Ah oui t'as raison, je sais pas pourquoi je l'ai pas vu, comme ça on n'a pas besoin de la séparation des cas.
Merci : )

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.