Proba niveau bcpst

[gaelle3brm]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice de maths. Je suis complètement bloquée.
Je n'ai même pas réussi la 1) mais j'aimerais surtout de l'aide pour les questions 2 et 3 que je n'arrive pas à démarrer...


Un joueur vise une cible avec une flechette. `A chaque lancer, il atteint la cible avec la probabilité p, 0 < p < 1 et la rate avec la probabilité q = 1 − p.
Il effectue une serie de lancers independants.
Il gagne, lorsque, pour la premiere fois, sur n lancers, le nombre de fois où il atteint la cible excede de 2 le nombre de fois où il rate.
Il perd, lorsque, pour la premiere fois, sur n lancers, le nombre de fois où il rate la cible excede de 2 le nombre de fois où il l’atteint.
La partie s’arrete lorsque le joueur a gagne ou perdu.
On note les ́evenements suivants
An : “le joueur gagne au n-i`eme lancer”,
Bn : “le joueur perd au n-i`eme lancer”,
A :“le joueur gagne la partie”
B : “le joueur perd la partie”.

1. Mettre en place une simulation python pour ́evaluer P (A) et P (B).
2. Calculer P (An) et P (Bn).
3. En d eduire P (A) et P (B). D eterminer la probabilite pour que la partie dure indefiniment.
4. Soit X la variable al ́eatoire ́egale au nombre de lancers que comporte la partie. Determiner la loi de X. En deduire l’esperance et la variance eventuelle de X. Verifier avec python.


Merci d'avance pour votre aide

[gaelle3brm]

Pour la question 2 j'ai essayé avec la formule des probas composées mais une fois que j'ai posé la formule, je n'arrive pas à déterminer chaque probabilité. En fait je pense que ça vient du fait sur je n'arrive pas à traduire l'énoncé

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
On a une belle chaîne de Markov avec états absorbants. Je ne sais pas si ça te parle.

[GaBuZoMeu]

Un reformulation de l'énoncé :
Le tireur part du score 0. Après chaque tir, il ajoute 1 à son score s'il a touché la cible et il retranche 1 s'il a raté la cible. Il gagne s'il arrive à 2, il perd s'il arrive à -2 et dans les deux cas le jeu s'arrête.

[GaBuZoMeu]

Si le gros mot "Chaîne de Markov" effraie, on peut se débrouiller au ras des pâquerettes comme ça :
- remarquer qu'on ne peut atteindre le score de 2 ou de -2 qu'au bout d'un nombre pair de tirs.
- remarquer si on atteint pour la première fois le score 2 (sans jamais être passé par le score -2) au bout de 2k+2 tirs, c'est qu'on était au score 1 en n'ayant connu que des scores 1,0,-1 au bout de 2k+1 tirs. On note alors cet événement : être au score 1 au bout de 2k+1 tirs en n'ayant connu que des scores 1,0,-1. De la même façon, est l'événement être au score -1 au bout de 2k+1 tirs en n'ayant connu que des scores 1,0,-1.
- remarquer que la probabilité de est , celle de est .
- calculer les probabilités de et à partir de celles de et .
- obtenir par récurrence les probabilités de et et en déduire celles de et .