Egalité sommes / produits ?

[JMMaza]

Bonjour à tous,

Existe-t-il une égalité qui fasse correspondre une suite de sommes de nombres avec une suite de produits de ces mêmes nombres SVP, et à quoi cela pourrait-il bien servir ?

(à part "1+1 = 2" <=> "2x1 = 2" et la suite bien sûr)

Merci d'avance.
JM

[Ben314]

Salut,
Je ne comprend pas la question. Peut tu préciser ce que tu entend par "correspondre" dans ce contexte ?

[JMMaza]

Bonjour Ben,

Merci de ta réponse.
Je veux dire comme 1+1 = 2x1, 2+2 = 2x2, etc... mais pas celle là évidemment. En fait, je cherche s'il existe une égalité générale qui permette de remplacer une addition par un produit et inversement, voire élargie aux 4 opérations de base.

[Ben314]

Je suis toujours pas persuadé d'avoir bien compris, mais si tu cherche des nombres réels A et B tels que A+B=AxB, alors cette équation équivaut à (A-1)(B-1)=1 soit encore B=1+1/(A-1)=A/(A-1).
Donc, par exemple, 3+3/2=3x3/2(=9/2) ; 4+4/3=4x4/3(=16/3) ; -1+1/2=-1x1/2(=-1/2), etc . . .
Par contre, avec des nombres entiers, pour avoir (A-1)(B-1)=1, il faut soit que A-1=B-1=1, c'est à dire A=B=2, soit que A-1=B-1=-1, c'est à dire A=B=0.

[JMMaza]

Merci beaucoup.
C'est déjà intéressant. Est-ce que ça a des application pratique ? (Par exemple pour simplifier des calculs informatiques) et est-ce qu'on peut le développer sous forme de suite ?

De mon côté, je suis tombé par hasard sur une égalité entre deux suites qui marche avec les entiers positifs, et en changeant les signes avec les entiers négatifs, mais je ne sais pas si elle est déjà connue (je suppose que oui) :

- soit N la suite des entiers naturels (1, 2, 3, ...)
- soit la suite B telle que Bn = Nn + Bn-1 (= la somme de N1 à Nn-1 : 1, 3, 6, 10, 15...)
- soit la suite C telle que Cn = Nn / 2 * Nn+1
Alors Bn = Cn , ou Somme Sn de N1 à Nn = Nn /2 * N+1

[Ben314]

Je comprend pas grand chose à tes notations : Tu parle de cette égalité :
1+2+3+...+N = N(N+1)/2 ?
Si oui, alors c'est "probablement connue depuis le début du Vem siècle av. J.-C." (dixit Wiki.) vu que c'est la version discrète du résultat classique qui dit que l'aire d'un triangle rectangle c'est la moitié de celle du rectangle correspondant (et les entiers de la forme N(N+1)/2 avec N entier sont justement appelés "nombres triangulaires")

[JMMaza]

Hahaha ! Merci beaucoup !


C'est exactement ça ! Elle était tellement discrète que je ne m'en étais pas rendu compte.

Au moins je sais un peu mieux où situer mon niveau en mathématiques ! et j'ai appris quelque chose en géométrie.

Merci encore Ben.

[lyceen95]

Cette égalité est un cas particulier d'une règle plus générale, et qui est aussi enseignée aux élèves : la somme des termes d'une suite arithmétique.

Avec cette formulation, tout moteur de recherche va te donner des dizaines de tutoriels/videos sur le sujet.

Un problème assez voisin : la somme des termes d'une suite géométrique.