Equation différentielle (T°S)

[kellogs]

Bonjour,
je bloque sur cet exo, merci d'avance de m'aider!!

1) On considère la fonction h définie pour tout réel x de R par: h(x)=2e^-x +1/2 (x+1)
Calculer h'(x)+h(x) et en déduire une équation différentielle de la forme y'+y=ax+b dont h est solution.
2) On se propose de trouver toutes les fonctions f solutions de l'équation différentielle suivante: y'+y=1/2x +1 (E)
a) Prouver que la fonction affine P: x -> 1/2(x+1) est une solution de (E).
b) Pour toute fonction dérivable f sur R, on définit la fonction g=f-P .
Montrer que f est solution de (E) si et seulement si g est solution de l'équation: y'+y=0 (E1)
c) Résoudre l'équation (E1) et en déduire toutes les solutions de (E).
d) Parmi les solutions de (E), déterminer celle qui prend la valeur e en -1.

Merci d'avance.

[mary123]

Où est ce que tu bloque exactement dans cet exercice

[kellogs]

J'ai réussi à faire la première question, j'ai mis du temps car j'avais des fautes de calcul...
Les autres questions je n'y arrive pas
Ca fait un moment que je bosse sur cet exo, merci de m'aider :)

[allomomo]

Salut,

Données :
et

1 -

2 -
Remarque : P(x) est une solution particulière de (E)
On vérifie cette affirmation :
et => (OK)

[kellogs]

Merci de ton aide! :)

Là je bloque pour la c) et la d), est ce que quelqu'un peut m'aider??

[tony800]

c) y'=-y (E1)

Les solutions sont de la forme :
C e^a , C appartient à R

d'où y=C e^(-1) , C € R

y est solution de (E)
Or y-p est solution de (E1), d'après b.
donc y(x)-p(x) = C e^(-1) , C € R
d'où y(x) = C e^(-1) + p(x)
y(x) = Ce^(-1) + 1/2(x+1) , C € R
Les solutions sont du types : y(x) = Ce^(-1) + 1/2(x+1) , C € R.

d) Parmi les solutions de (E), déterminer celle qui prend la valeur e en -1.

Cela signifie que : y(-1) = e = Ce^(-1) +1/2(-1+1)
Ce^(-1) = e
C = 1

Donc la solution demandée est : y(x) = 1e^(-1) + 1/2(x+1)
y(x) = e^(-1) + 1/2(x+1)