Dl et fonction réciproque

[grenouille35]

bien le bonsoir!!!

j'ai une fonction dont j'ai calculé le dl3(0)

f(x)= 2x - (1/3)x^3 + o(x^3)

et là je dois en déduire le dl3(0) de la fontion réciproque de f... et moi je nage!!!

merci par avance

[mathelot]

Posons:
y=f(x) et g la fonction réciproque de f.
comme les fonctions f et g sont réciproques:
g(f(x))=x dans un voisinage de zéro.
soit g(0)=0 car f(0)=0.
soit le DL de g.

g(f(x))=x
il ne reste plus qu'à identifier , le DL étant unique au voisinage d'un point
pour trouver a,b,c. je te renvoie une question: jusqu'à quel ordre peut on développer g ?

[Yipee]

Il faut comme faire attention dans la rédaction à ne pas supposer a priori que le DL existe...

[mathelot]

Yipee, quels théorèmes peut on utiliser ? car f n'est pas nécessairement dérivable dans un voisinage de zéro si le petit o est très irrégulier.

[Yipee]

En gros, en utilisant ta méthode, on trouve que s'il y a un DL alors on le calcule. On montre ensuite que c'est bien un DL.

[Yipee]

Sinon la fonction est dérivable (elle admet un DL à l'ordre 1) mais pas obligatoirement deux fois dérivable.

[grenouille35]

alors pour répondre à la question je ne suis pas obligée de développer plus loion qu'au carré puisque je veux un dl3 après les puissances de x seront de toute façon supérieurs et rentreront dans le o

par contre je ne vois pas comment identifier les coefficients...

[grenouille35]

erratum de ma part je dois développer jusqu'à ^3 sinon j'oublie un x^3

[grenouille35]

je retire c ke j'ai dit pour les coefficients je viens de calculer tout ça. par contre pour la rédaction je ne me serait pas préoccupée de ce que vous dites parce uque la question est "donner le développement limité d'ordre 3 de la fonction réciproque au voisinage de 0"

je ne me suis même pas posé la question de savoir si il existait!

[mathelot]

Sinon la fonction est dérivable (elle admet un DL à l'ordre 1) mais pas obligatoirement deux fois dérivable.

je précise ton affirmation: tout ce que l'on demande au petit "o", c'est de tendre
vers zéro plus vite que le monôme quand . En particulier, si l'on prend comme petit "o", la fonction où est la fonction indicatrice des rationnels, la fonction f va être uniquement dérivable en et f ' n'existe même pas dans un voisinage de zéro, bien que f admette un DL à l'ordre 3. Alors quid de ? Je pensais mettre l'existence du DL de g dans les hypothèses.

[Yipee]

Attention, rien ne dit en effet que la fonction g soit dérivable en dehors de 0. On ne peut donc pas utiliser Taylor-Young pour démontrer l'existence du DL. Cependant cela se fait. Le calcul donne que si le DL existe il vaut


Il suffit donc de démontrer que
admet une limite nulle en 0. Et pour cela il suffit de montrer que admet une limite nulle en 0.

Cette méthode peut se formaliser pour obtenir le théorème suivant :

Si f est bijective au voisinage de 0, admet un DL à l'ordre n et f est equivalent à ax en 0 avec a non nul alors la fonction reciproque g admet un DL à l'ordre n aussi.