Conjecture Syracuse: nombre d'étapes impaires d'un vol

[iamaseb]

Je ne peux pas contredire les points que tu fais remarquer, car ils me paraissent justes pour l'essentiel et sensés. Mais, tu ne peux pas nier non plus le fait que j'ai indiqué que j'étais novice, que j'ai indiqué dès mon premier message qu'il n'y aura aucune découverte à attendre etc. Donc le "vendre a tout prix" est plutôt une perversion de l'esprit qui voudrait qu'on ne puisse aborder la problématique que sous l'aspect compétitif de qui a la plus grande, en perdant toute la dimension pédagogique que propose la compréhension d'un problème et de ses bases.

Il me semble que la recherche que j'ai effectué amène justement a aborder les problématiques de bases, dans un cadre stimulant, que la lecture simple de livre ne me permet pas. Ayant terminé ma scolarité depuis fort longtemps, je ne suis plus dans approche scolaire des choses. Si ça ne plaît pas à certain sachant, c'est leur droit, et je ne vais pas les forcer à s'adapter à mon cas personnel, mais la réciproque est vrai aussi.

Je tire une grande satisfaction d'avoir trouvé par moi-même par exemple, la notion de suite compressé, sans l'avoir lu dans un manuel. Le fait qu'on soit des millions potentiellement à avoir fait de même n'enlèvant rien. Normalement, tu as du remarquer que la distribution indiquée dans mes tableaux se base sur celle-ci, justement.

Je suis preneur d'ailleurs d'un article reprenant les tableaux produit ici.


Toujours est-il que je te remercie encore pour les liens, et aussi des conseils, qui sont malgré tout, et je le répète, justes aussi. Cordialement.

[lyceen95]

Sur tes tableaux, je vois un tableau avec en première colonne les impairs, et ensuite les nombres obtenus par '4n+1' : 5 ; 4x5+1=21 ; 4x21+1=85; 4x85+1=341 ; etc
Oui, cette mécanique avec les 4n+1 se retrouve dans tout ce qui tourne autour de cette conjecture.
Je ne pense pas que tu retrouveras des publications 'sérieuses' qui en parlent, mais des découvreurs qui publient des tableaux comme le tien(ce tableau là précisément), il y en a sur tous les forums de maths.
Le tableau suivant avec les nombres pairs, il me parle moins ... En général, les découvreurs excluent (à tort) les nombres pairs de leurs tableaux.

Sur la démarche, je dirais qu'il faut un certain équilibre. On tripatouille des calculs de son côté, on trouve des résultats qu'on considère 'remarquables' , mais rapidement, il faut s'informer. Je dis ça, mais quand je me suis intéressé à cette suite, Internet n'existait pas, et j'ai certainement fait comme toi, mais sans jamais rien écrire sur des forums !
Les 2 démarches doivent se faire en parallèle. Cette histoire sur les cycles 'non triviaux' , on ne sait pas s'il y en a, mais s'il y en a, on sait qu'ils ont précisément xxxx étapes, je trouve que c'est un truc vachement pédagogique, compréhensible et intéressant. Il FAUT absolument lire ce truc, et tout faire pour comprendre ce truc.
Donc oui, j'encourage à s'intéresser à cette conjecture,

Sur ce sujet de la conjecture de Syracuse, il y a ce site (en anglais), un site avec des résultats, du lourd, pour les initiés, même si ça date pas mal : http://www.ericr.nl/wondrous/ Et il faut évidemment lire la page wikipédia en tout premier.

[lyceen95]

J'oubliais ce lien : https://hal.science/hal-01593181v3/document
Ce sont 2 chercheurs français, qui se sont un peu intéressés à cette conjecture, mais qui se surtout intéressés à tout ce qui tourne autour de cette conjecture.

Sur les publications en français, on peut aussi consulter l'excellent site de Gérard Villemin ou les quelques écrits de J.P.Delahaye sur ce sujet.

[iamaseb]

On note que plusieurs auteurs travaillant sur les prédécesseurs (et notamment l’arbre lié
à cette relation), finissent par « démontrer » que l’ensemble des prédécesseurs de 1 est
l’ensemble des naturels. Qu’est-ce qui rend cette erreur si commune ? Dans ce processus
constructif, il apparaît que l’ensemble des nombres qui restent à tester s’éclaircit au fur
et à mesure du travail. Cette perception induit certainement les erreurs commises par
la suite. Dans d’autres cas, on réutilise dans le contrôle les éléments qui ont servi à
le construire. Vraisemblablement la charge cognitive nécessaire à la démonstration de
différents résultats (parfois triviaux comme la connexité du graphe) conduit à l’illusion
que tous les nombres sont atteints ou masque l’insuffisance de la preuve.

Très intéressant le lien. Je suis là je pense dans ma "démonstration d'amateur". Et en effet, je ne vois pas où est l'insuffisance de la preuve, sur la question de l'exhaustivité des nombres impairs en tout cas.

[Ben314]

Perso., j'ai toujours pas bien compris où résidait ta "preuve" : tu dresse les antécédents des différents nombres impairs et ensuite ?
Parce que si c'est juste pour dire que la réunion des antécédents de tout les impairs, c'est l'ensemble des naturels tout entiers, ben ça revient juste à dire que toutes les suites de Syracuse contiennent au moins un nombre impair, ce qui est une "évidence évidente", non ?

[lyceen95]

Dans ta démonstration, si on la formalise 'mathématiquement', on arrive à des choses qui sont correctes : l'arbre obtenu en partant de 1 et en faisant le processus 'inverse' est infini. Il y a une infinité d'entiers et en particulier une infinité d'entiers impairs qui sont dans cet arbre. Et donc une infinité d'entiers qui vérifient la propriété énoncée par Collatz. Ca, ok, c'est acquis.

Mais une infinité d'entiers, ça ne veut pas dire tous les entiers. Si je prends par exemple tous les entiers impairs à l'exception de (13, 33, 83), ça nous donne une infinité d'entiers impairs, mais ça ne nous donne pas tous les entiers impairs.

Si on bâtit un arbre qui contient tous les entiers, sauf ces 3 là, cet arbre est infini, génial, tous les nombres qui sont dans cet arbre ont bien un chemin qui permet de redescendre à 1, génial, mais pas de pot, il reste 3 irréductibles gaulois qui foutent le bordel.

Tu as recopié un extrait, mais tu n'as pas recopié la phrase qui suivait, celle qui donnait la piste pour comprendre pourquoi ce type de raisonnement ne convient pas.

Pour alléger les notations, je vais parler de Syracuse3 (le problème courant) et de Syracuse5 (le même chose, mais en remplaçant 3 par 5 : si n est impair, on calcule 5n+1, sinon on calcule n/2.

Si on remplace 3 par 5 (si n est impair, on calcule 5n+1, sinon on calcule n/2) , tout ton arbre reste fonctionnel, tout marche de la même façon. Avec des valeurs différentes bien entendu.
Et donc, cette 'démonstration' en partant du bas de l'arbre et en explorant l'arbre jusqu'au bout, permet(trait) de démontrer que le processus Syracuse5 aboutit systématiquement à 1, quelque soit l'entier de départ.
Si c'est vrai pour 3, c'est aussi vrai pour 5, n'est-ce pas. Il n'y a aucune étape de ton raisonnement qui s'applique pour 3, mais pas pour 5.

Refais tous tes tableaux, avec Syracuse5 au lieu de Syracuse3 ... et tu vas voir que mes 3 irréductibles gaulois passent entre les gouttes. On a un arbre infini, on a une infinité d'entiers impairs qui aboutissent à 1, mais on a 3 manquants à l'appel.
Ton raisonnement permet(trait) de démontrer que via Syracuse5 (si n est impair, calculer 5n+1, sinon calculer n/2), tout entier aboutit à 1, or il est facile de vérifier que si on part de 13, 33 ou 83, on n'aboutit pas à 1.

[iamaseb]

De ma naïveté, pour reprendre les termes de l'article, si la suite de Syracuse est vraie, c'est qu'elle est "évidente".

Je n'ai pas dit que "j'avais la preuve", j'ai dit que "j'avais" l'exhaustivité des nombres impairs positifs dans mon tableau, ce qui n'est pas la même chose.

La "preuve" naïve de l'exhaustivité étant qu'on peut générer ce tableau en parcourant tous les nombres impairs, +2 à chaque fois, en les insérant systématiquement dans le tableau. On peut générer le même tableau en parcourant tous les pairs.



L'évaluation du N1 peut intervenir dans un second temps (on en a quand même peut-être besoin à un moment donné).
Le passage d'une ligne à l'autre se fait uniquement sur la base de l'impair parcouru, et de ceux déjà parcouru (enfin parcouru c'est une vue de l'esprit). Je continue de réfléchir à vos points, notamment le Syracuse 5.

[iamaseb]

Tableaux de Syracuse 5.

[lyceen95]

Au contraire, c'est probant .
Pour Syracuse5, tu arrives à bâtir ton tableau.
Les valeurs sont évidemment différentes, mais on voit bien qu'on peut étendre ce tableau à l'infini. Aussi bien en ajoutant des colonnes qu'en ajoutant des lignes.
Donc on arrive à un tableau 'infiniment grand' qui prouve(rait) que tous les entiers impairs 'arrivent à 1' via le procédé de Syracuse5 : si n est impair faire l'opération 5n+1, sinon faire n/2

On est d'accord ? Le tableau pour Syracuse5 , ou celui pour Syracuse3 ... ils sont infinis tous les 2, ils sont 'comparables'. Si tu considères que ce tableau posté ce matin est une preuve pour Syracuse3, alors celui posté il y a une heure est une preuve pour Syracuse5.
Je m'intéresse uniquement au tableau avec les nombres impairs .... les nombres pairs ont peu d'intérêt ici.

Tu as une preuve pour Syracuse5, mais pas de chance, Syracuse5 est fausse (si on part de 13, tu peux vérifier qu'on tourne infiniment en rond)
Donc ta preuve pour Syracuse5 est fausse,
Et comme ta preuve pour Syracuse3 est bâtie exactement sur le même modèle que la preuve de Syracuse5, elle est fausse aussi.

Je sais que tu ne parles pas de preuve, mais de pistes ... mais peu importe.

[iamaseb]

La partie ce n'est pas parce que tu as des suites infinies que pour autant ton tableau comprend tous tes entiers, ça j'avais compris dès le début.

Sur le Syracuse5 on voit quand même dès la première ligne que 1 contient 3, qui lui-même contient 1. C'est un peu moins fiable car j'ai du changer mon algo quelque peu, pour prendre les suites des doubles modulo 5, bref, je creuse un peu, mais quand même, le tableau n'a plus rien de magique comparé à l'autre ^^

Cependant, je ne vois pas en quoi il ne marche pas pour Syracuse 5. Il semble marcher. Et je pense aussi avoir tous les impairs dans mon tableau de Syracuse 5.

[lyceen95]

Par contre, je ne vois pas en quoi il ne marche pas pour Syracuse 5.

Il marche pour Syracuse5, et c'est bien là le problème. On peut faire pour Syracuse5 un grand tableau (infini), avec tous les nombres impairs qui sont reliés à 1.
Tout comme on peut en faire un pour Syracuse3.

Soit on considère que ce type de tableau est un début de preuve de la conjecture de Syracuse,
Soit on considère que ce n'est pas un début de preuve(et donc, pour parler crument, que ça ne sert à rien).

Si on considère que c'est un début de preuve, on est en route pour prouver Syracuse3 et Syracuse5.

hop hop hop, on complète le tableau, on explique qu'on peut étendre le nombre de colonnes à l'infini, et qu'on peut aussi étendre le nombre de lignes à l'infini... on est en train de prouver Syracuse3 et Syracuse5.

On continue.
On imagine que ça se passe bien, et génial, on a prouvé Syracuse3 et Syracuse5.
On a prouvé que pour ces 2 process, partant de n'importe quel entier impair, on arrive à 1.

Mais pas de pot.
Ok, pour Syracuse3, on est dans le doute, on se demande si effectivement tout nombre aboutit à 1.
Mais pour Syracuse5, ces tableaux nous prouvent (prouveraient) que la conjecture est vraie, alors qu'en fait, elle est fausse, et c'est facile de vérifier qu'elle est fausse. (calcule le chemin qui part de 13, et tu vas voir qu'il n'aboutit pas à 1)

C'est ce qui est dit succinctement dans le Pochon&Favre : beaucoup de 'chercheurs' font des raisonnements ; dans leurs raisonnements on pourrait très bien remplacer Syracuse3 par Syracuse5, tous les arguments mis en avant restent totalement valables. Ils démontrent donc Syracuse3, mais aussi Syracuse5.
Alors que Syracuse5 est fausse.

[iamaseb]

On continue.
On imagine que ça se passe bien, et génial, on a prouvé Syracuse3 et Syracuse5.
On a prouvé que pour ces 2 process, partant de n'importe quel entier impair, on arrive à 1.

Au contraire, le tableau de Syracuse 5 que j'ai fait montre qu'on ne tombe pas sur 1.

[lyceen95]

Ah...
En fait, je ne sais pas ce qu'il y a dans tes tableaux.
Sur chaque ligne du tableau Syracuse3, on passe d'une colonne à la suivante en faisant l'opération 4n+1 ; ok, ça me parle.
Dans le tableau Syracuse5,ça devient 16n+3 ; ok, c'est logique.

Mais comment on passe d'une ligne à la suivante, ou bien comment ces tableaux prouvent que Syracuse3 converge mais pas Syracuse5, je ne vois pas.
Ou même pourquoi certaines lignes du tableau Syracuse5 sont tronquées ?

[iamaseb]

Ah...
En fait, je ne sais pas ce qu'il y a dans tes tableaux.
Sur chaque ligne du tableau Syracuse3, on passe d'une colonne à la suivante en faisant l'opération 4n+1 ; ok, ça me parle.
Dans le tableau Syracuse5,ça devient 16n+3 ; ok, c'est logique.

Mais comment on passe d'une ligne à la suivante, ou bien comment ces tableaux prouvent que Syracuse3 converge mais pas Syracuse5, je ne vois pas.
Ou même pourquoi certaines lignes du tableau Syracuse5 sont tronquées ?

Visiblement, il y a plein de façons de générer le tableau de Syracuse 3 que je propose, ce qui est sans doute bon signe.

En dernière colonne, celle avec N, il s'agit de l'impair "propriétaire". Tous les impairs présents dans les colonnes précédentes sont les impairs qui, s'ils sont donnés en entrée de la conjoncture, ou atteints durant le cycle, iront dans l'impair propriétaire.

J'ai ordonné toutes ces séquences, non pas par ordre du propriétaire, mais par ordre de la première colonne, soit du plus petit impair qui permet de toucher un impair propriétaire. Il en découle une distribution spécifique, qui met en avant entre autres les éléments que tu as mis en avant, mais pas que j'ai l'impression, tu seras mieux a même de les identifier que moi...

S'il y a conjoncture, peut-être qu'on doit pouvoir générer le tableau autrement, en partant de 1, et en itérant, sans jamais utiliser deux fois le même impair. Ce que permet visiblement Syracuse 3.

Bref, je ne savais pas tout ça quand j'ai généré pour la première fois le tableau. Ce que j'ai fait à la base, c'est parcourir tous les impairs modulo 3 différents de 0, pour chacun d'entre eux, j'ai pris tous les doubles de doubles de doubles (j'ai limité), à chacun appliqué un -1, puis un modulo 3 (ou 5 si Syracuse5). Si divisible, j'applique ma division par 3(ou 5), ce qui me donne un impair pour chacun des doubles compatibles (un double sur deux dans les faits, pour le Syracuse 3).

Bref, j'ai pour chaque impair "propriétaire", listé tous les impairs qui permettent de l'accéder. Ensuite, j'ai trié ces impairs propriétaires, non pas par la valeur de leur propriétaire, mais par la valeur de leur premier élément pouvant l'atteindre.

Ce qui a permis la génération de ce tableau, très très très particulier quand il suit le 3, et très bancale et déséquilibré quand il suit le 5. Comme j'ai limité mon nombre de double analysé pour chaque impair, et que la distribution 5 est moins clémente en termes de modulo compatible, on saute trop de double, et donc je n'ai pas assez généré de double pour les voir. Ce qui explique les trous de la dernière colonne (hors celle de N) Mais ça reste une suite infinie, juste qu'on ne prend pas un élément sur deux...

J'ai exprimé le même tableau, en mettant dans les colonnes de liens les 3x+1 plutôt que les impairs. Ce qui donne le tableau 2.

Et j'ai appliqué la différence entre deux colonnes, divisé par le propriétaire dans le troisième tableau (je ne sais pas ce que ça vaut, mais on voit que la ligne 1 est égale à la somme de la ligne 2 et 3). Et ça boucle à l'infini (on observe aussi des diagonales de puissances 2 ou autre, mais aucune idée de ce que cela signifie).

En mode Sycaruse 5, bah, c'est tout pété, et s'aperçoit dès les deux premières lignes, qu'un même nombre impair propriétaire se croise avec ses liens. Je ne parle même pas des autres tableaux.

[iamaseb]

Oh, et donc, si on veut remplir le tableau, en ignorant la colonne propriétaire, il suffit de mettre les éléments dans la première colonne. Et tous les 4 impaires parcouru (le fameux 8), on placera ce dernier non pas dans la première colonne, mais dans une autre colonne à une ligne antérieur.

Comme si on était en base 3, mais écrit de gauche à droite. On complète d'abord la colonne de gauche avec les unités ,puis celle à sa droite pour chaque dizaine (enfin 4 ici), puis c'est les centaines etc. (On peut peut-être aussi se représenter cela sous forme de décimal, comme si on faisait une soustraction de 0.333, bref pas encore analysé cette partie).

Petite subtilité, la première ligne est différente, comme si elle valait double. Ici, c'est au troisième élément qu'on va décaler dans une colonne de droite. En fait, c'est comme si les deux premières lignes étaient en base 2, mais mixé quand même avec du base 3. Bref, vous serez plus à même d'expliquer, toujours est-il que ça a un rapport avec le 1-5 de départ.

En tout cas, une telle distribution, elle ne peut être qu'entière, non ?

1 5 21 [...]
3 13 53

7 29 [...]
9 37
11 45

15 61
17 69
19 [...]

23
25
27

31
33
35

39
41
43

47
49
51

55
57
59

63
65
67
[...]




Tu retrouves ici le début du tableau "fini".

Et donc c'est là que j'ai fantasmé, du néophyte que je suis qui laisse trop de place à l'imagination, qu'on avait créer un modèle de base 3 avec cette conjoncture, et que c'est comme si on écrivait des décimales après le 1 ou 0 de départ, dont on remontrait je ne serais trop comment. Mais laissons de côté cette idée farfelue à ceux qui riront, à juste titre, de l'imagination des néophytes ^^

[iamaseb]

Syracuse 3, c'est un double de double de double ... sur 2 qui est divisible par trois.

Syracuse 5, bah, jamais pour certain.

Peut-être est-ce ceci qui explique la répartition en base 3 de Syracuse 3, et différemmentt pour Syracuse 5 du tableau ?

La base 3 étant la clé de la convergence ?

Voilà un tableau plus cohérent de Syracuse 5, mais qui semble ne s'appliquer que pour 2 séries (certainement lié aux suites divisées par 5). J'ai un vrai doute sur ce que j'ai fait

Tous les entiers qui se termineront par 1 ou par 9, de bout en bout de la chaîne suivront la conjoncture de 5n+1.

Tableaux de Syracuse 5.



Si on prend en entré 171127603 (avant dernière ligne, propriété de 51, lui-même propriété de 1), on va bien retrouver notre suite. Si mon truc est exhaustif, certains entiers terminant par 1 ou par 9, pourrait suivre une conjoncture de 5n+1.

Encore une fois, je me suis peut-être loupé quelque part.

[lyceen95]

Ok, compris la définition de 'appartenir'.
Si un nombre appartenait systématiquement à un nombre plus petit, tout serait réglé. Par 'récurrence forte' , la conjecture serait démontrée.
Mais on a des nombres où ton tableau ne prouve pas grand chose.
1535 appartient à 2303, qui lui-même appartient à 3455, qui lui-même appartient à 5183 ...
A chaque fois, on passe à un entier plus grand !
Et on ne parle ici que de petits nombres.

Dans Syracuse5, tu arrives donc au fait que 1 appartient à 3, parce que le cycle trivial est 1,6,3,16,8,4,2,1 ; il contient un autre impair.

Ce que tu as constaté autour du nombre 8, tu vas le retrouver autour de n'importe quelle puissance de 2.
Prends 128 nombres consécutifs, par exemple de 10001 à 10128.
Tu calcules la suite 'compressée' pour chacun. Si n est impair, calculer (3n+1)/2, sinon calculer n/2
Partant de 10001, on trouve 10001, 15002, 7501, 11252, 5626, 2813, 4220.
Je ne garde que les 7 premiers termes (parce que 128=2^7)
Et je convertis cette suite de 7 nombres en P (pair) ou I(impair).
Pour cet exemple, je trouve IPIPPIP
Résultat : Sur 128 nombres consécutifs, on n'aura aucun doublon, chacune des 128 chaines possibles apparaît une fois et une seule.
Et cette chaine IPIPPIP va réapparaître quand on va traiter 10129, et c'est le 8ème terme qui sera différent, pair quand on part de 10001, impair quand on part de 10129.
Evidemment, ça se généralise à toute puissance de 2.

[iamaseb]

Chaque chose en son temps. La première question était l'exhaustivité du modèle. Est-ce qu'il est exhaustif si construit par itération d'impaire comme on l'a vu ?

Ensuite, je ne sais pas si la notion d'entier plus grand à une réelle importance. Déjà, c'est plus grand au sens stricte mathématique du terme, mais pas forcément au modèle appliqué ici et ses intrications. A priori, tous les entiers sont liés les uns aux autres, sans exception, et n'apparaissent qu'une seule fois !

Ceci, plus le fait que nous sommes dans un modèle aux cardinalités suivantes : infinies d'entier donne un et un seul entier, qui lui-même ne pourra aboutir qu'à un et un seul, et ainsi de suite. Il me semble qu'il ne peut y avoir du coup qu'un sens et qu'une seule conclusion.

En guise d'explication très partielle, un entier sur deux est composé dans sa suite de double divisible par 3 d'un élément plus petit que lui.

À creuser.

Je réfléchis à ton second point.

[lyceen95]

Je vais être désagréable, mais réaliste : ce dernier message aurait plus sa place dans un forum sur l'ésotérisme et l'incantatoire que sur un forum de math.
Essaie de reformuler tout ça avec des mots très simples, compréhensibles par un lycéen. Mon pseudo est 'lycéen', essaie d'expliquer ce que tu fais comme si tu expliquais à un lycéen.
Attention, même si je me décris comme lycéen, je suis un peu moins naïf qu'un lycéen.

La notion de plus grand aus sens classique est une notion bien définie. On peut l'utiliser. C'est une relation d'ordre, et plus précisément d'ordre TOTAL : pour tout couple i,j , on a soit i<j, soit i=j, soit i>j.
La notion de plus grand au sens "appartenir à", ou plus généralement au sens de ce modèle et de ses intrications est-elle définie ?
Peut-être que oui, peut-être que non. Est-ce une relation d'ordre ? Est-ce une relation d'ordre Total ? On n'en sait rien, et c'est quasiment la question qui est posée par Mr Collatz !

A priori, tous les entiers sont liés les uns aux autres, sans exception

Oui, c'est exactement ce que disait Mr Collatz : on dirait que tous les entiers sont reliés les uns aux autres, sans exception.

En guise d'explication très partielle, un entier sur deux est composé dans sa suite de double divisible par 3 d'un élément plus petit que lui.

C'est une explication, ou c'est une énigme à déchiffrer ?

[iamaseb]

Sortons des maths quelque peu.

On va définir une entité qui possèderait une propriété obligatoire : un parent, elle même entité.
Plusieurs entités peuvent avoir un même parent.
La seule possibilité de navigation d'une entité à l'autre, c'est via le parent.
Seule une entité bien particulière est son propre parent.

Dans une telle modélisation, le fait de naviguer remonte nécessairement par le haut, car on ne connait que ça. La question de sens ne se pose pas, ni celle de tomber sur une entité déjà parcouru, à part la première. Est-ce clair ?

Ce qui signifie, que si je trouve un modèle qui répond à cette problématique, tout en étant exhaustif sur toutes les entités possibles, le fait de naviguer me fera toujours aller vers le parent.

La modélisation que je propose ici, permettrait de mettre en évidence la relation du parent pour l'ensemble des entiers existant, défini par la seule relation possible entre deux entités, sa navigation, à savoir 3n+1. Si tel était le cas, la question du sens de navigation ne se pose pas.


Cela étant dit, ramené à la mathématique, si une telle modélisation existe, c'est qu'elle doit pouvoir s'expliquer aussi de façon mathématique. Est-ce que la démonstration mathématique de la distribution serait alors une preuve de la conjoncture ?