Proba

[spilauchen]

Bonjour
Dans un ensemble contenant un nombre infini de boules blanches et noires, on tire, en une fois et sans remise, N boules.
Quelle est la probabilité d'obtenir au moins 2 boules de couleurs différentes ?
Il me semble qu'elle est égale à N-1/N+1.
Est-ce exact ?
Merci par avance.
Cordialement

[catamat]

Bonjour

Pour calculer il faudrait connaître la proportion de boules noires dans l'urne, à moins qu'on sous entende qu'il y a en a autant de chaque sorte.
Du fait de la grande quantité de boules on considère que cette proportion ne varie pas au cours des tirages.
Donc (dans le cas de la parité blanches noires) la proportion de n'avoir que des noires serait de même pour que des blanches et pour des boules de couleurs différentes.

Mais bon sans plus de précision dans l'énoncé on ne peut pas répondre de façon précise.

[lyceen95]

Il y a effectivement une lacune dans la question : quelle est la proportion de boules blanches ?
Soit la proportion de boules blanches.
La proba de tirer boules blanches est
La proba de tirer boules noires est
La proba d'avoir au moins une noire et au moins une blanche, c'est la proba complémentaire :
Et dans le cas particulier où , ça donne

[Ben314]

Salut,
Sans vouloir être méchant, déjà, une urne "avec une infinité de boules", j'aimerais bien que quelqu'un m'en montre une (*), juste pour pouvoir (par exemple) vérifier les calculs que l'on fait.
Ensuite, de parler de "proportion" ou de "autant que" pour un truc considéré comme infini, c'est encore plus dénué de sens sans une définition archi. rigoureuse de ce qu'on entend par là (définition qui demande en général à ce que les objets soient numérotés, ce qui n'est pas le cas des boules, et dont le résultat "proportion" dépend de l'ordre dans lequel on numérote).
Bref, je comprend pas cette tendance à mettre de l'infini partout à tort et surtout complètement de travers.
Ça aurait vraiment été compliqué de dire, par exemple que l'urne contient DEUX boules (une blanche et une noire) et qu'on renouvelle N fois l'expérience consistant à prendre une boule au hasard (et évidement à la remettre).
Ou alors de dire qu'il y a "un grand nombre" de boules et qu'on cherche la limite de la proba lorsque ce nombre tend vers l'infini (ce qui, intuitivement, est bien le même chose, mais plus compliqué à rédiger proprement).

(*) Y'aurais bien la Corne d'abondance, mais c'est de la bouffe qu'il y a dedans.

[spilauchen]

Bonjour et merci à "catamat" et à "lyceen95" pour leurs réponses claires, ni tatillonnes ni désagréables.
Non, je n'ai pas bien formulé ma question : alors je remplace infini par grand nombre très supérieur à N et je fixe p à 0,5 (autant de Blanches que de Noires).
Ceci étant dit je continue à m'intéroger
Par exemple, avec N=2, vos formules donnent une proba de 0,5 de retirer "au moins une boule de chaque couleur".
Or, si je prélève 2 boules de l'urne, les 3 possibilités sont : 2B, 1B et 1N, 2N. J'ai donc une chance sur 3 d'obtenir les 2 couleurs !
Merci de me dire où est la faille de mon raisonnement .
Cordialement

[Ben314]

Si tu ne compte que trois possibilités (et pas quatre) en ne tenant pas compte de l'ordre de tirage, alors tes différents cas ne sont pas équiprobable. Plus précisément tes trois cas sont :
- Deux blanches = 1 chance sur 4
- Deux noires = 1 chance sur 4
- Une noire et une blanche = 2 chance sur 4
La formule proba = Nombre_de_cas_favorable / Nombre_de_cas_total n'est évidement valable que lorsque les cas sont équiprobable (Si tu considère qu'il y a deux cas possibles : soit tu meurs demain, soit tu ne meurs pas demain, est-ce que tu en déduit que tu as une chance sur deux de mourir demain ?)

[spilauchen]

Merci à BEN314
J'ai pigé.
Cordialement