Analyse Combinatoire

[FoxMulder]

Hello tout le monde

Petite question...
J'ai ce problème à résoudre :

Combien de nombres différents de 5 chiffres distincts peut-on former avec les chiffres de 0 à 9...
a) si les nombres doivent être impairs
b) si les deux premiers chiffres de chaque nombre doivent être pairs ?

Réponses :
a) 13'440
b) 5376

J'ai des soucis pour les 2 points du problème mais je vais commencer par le a), puisque le b) suit le même type de réflexion.
Ma réflexion est la suivante...

Sur les 5 chiffres à trouver, le dernier est forcément impair, donc j'ai 5 possibilités.
Sur les autres chiffres à trouver, j'ai d'abord 10 possibilités pour le premier digit, 9 pour le suivant, 8 et enfin 7 puisqu'ils ne doivent pas se répéter.

Ce qui me donne : 10*9*8*7*5 = 25'200 possibilités

Dans tous ça, il faut que je prenne en compte le fait que le chiffre impair qui est tout à la fin peut être répété sur les 4 autres digits, ce qui m'embête et qui ne doit pas être le cas. Je dois donc soustraire toutes ces possibilités là. Or... là je bloque, je ne comprends pas le calcul à faire et comment m'en sortir.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?
D'avancer merci

[Ben314]

Salut,
Déjà, il y a une petite ambiguïté vu que l'énoncé ne précise pas si on accepte ou pas des nombres dont le premier chiffre est un zéro. Mais en général, ces nombres sont plutôt refusés : personne n'écrit 0345 à la place de 345 et si on veut trouver les résultat que tu donne, il faut effectivement refuser les nombres commençant par zéro.

Ensuite, effectivement, pour que le nombre soit impair il faut (et il suffit) que son dernier chiffre soit impair, soit 5 possibilités si on commence par ce chiffre. Par contre, une fois ce chiffre choisi, il n'en reste plus que 9 de disponibles (vu qu'on ne doit pas répéter un même chiffre) voire même uniquement 8 pour le premier chiffre qui doit être non nul et différent du dernier (sachant que le dernier déjà choisi ne peut être nul vu qu'il est impair).
Donc si on choisi ensuite le premier chiffre, il y a 8 possibilités ce qui fait pour le moment 5x8 possibilités.
Ensuite, combien de choix pour le deuxième chiffre ? puis pour le troisième ? et enfin pour le quatrième ?

[FoxMulder]

Aaaah mais oui, je n'avais pas pensé au premier chiffre où on pouvait retirer 0 comme possibilité.

Donc on aurait dans l'ordre...

1er chiffre --> 8 possibilités (en retirant le 0 et le chiffre impair utilisé en dernière place)
2ème chiffre --> 8 possibilités (puisqu'on retire le 1er chiffre utilisé mais on ajoute cette fois-ci le 0 comme possibilité)
3ème chiffre --> 7 poss.
4ème chiffre --> 6 poss.
5ème chiffre (impair) --> 5 poss.

Donc 8*8*7*6*5 = 13'440 !
C'est la bonne réflexion ?

[FoxMulder]

PS : grâce à ton aide j'ai réussi le point b), merci beaucoup Ben314

Je profite aussi pour mettre ici un autre problème que vraiment... je ne sais pas par quel bout prendre : "Avec les lettres A,M,O,S,E on peut créer 120 anagrammes. En les classant par ordre alphabétique, quelle sera la position du mot SOUMA ?"

Je ne vois pas comment donner une "valeur" à chaque lettre pour faire comprendre son emplacement dans l'alphabet et là.. je suis vraiment perdu sur la manière de commencer le problème et je n'ai malheureusement pas de réflexion à donner. Qqun pourrait-il me guider un peu sur la manière d'aborder le problème ? Par où faut-il commencer ?

[catamat]

Bonjour

Il y a un petit problème d'énoncé car dans les lettres AMOSE il n'y a pas de U donc comment peut former SOUMA ?

A part cela, il me semble plus simple de compter les mots situés après SOUMA puis faire une soustraction.
Commençant par S il y a 24 (car 4!) mots, parmi eux, ceux commençant par SU soit 6 seront après SOUMA ceux commençant par SA ou SM sont avant SOUMA reste à traiter les 6 mots commençant par SO, cela ne doit pas être bien difficile.