Structure algébrique - composition de fonction

[xGiAx]

Salut !

J'ai commencé à étudier la structure algébrique , et je suis tombée sur une consigne du genre : Démontrer que la composition de fonctions est une loi de composition interne associative, mais j'avoue ne pas trop être à l'aise avec l'associativité sur cet exemple. J'ai essayé de chercher sur internet, mais pas grand chose qui m'ai aidé jusqu'ici.

J'ai f(x) = 2x et g(x) = x^2

On fait (f o g) (x) = 2x^2

Comment peut on montrer l'associativité de cette la loi de composition interne ?

J'ai trouvé cet exemple en vidéo, il dit qu'on peut y prouver l'associativité (6'20)
https://www.youtube.com/watch?v=IAB-ZcR ... ZQ&index=4

Merci à tous ceux qui pourraient m'apporter une réponse

[Ben314]

Salut
La définition de l'associativité, tu la trouvera n'importe où (et infiniment plus rapidement sur Wiki que... sur une vidéo...) :
Une opération interne # sur un ensemble E est dite associative lorsque, pour tout x,y,z de E, on a x#(y#z)=(x#y)#z.

Donc, dans le cas où E est l'ensemble des applications d'un ensemble X dans lui même et où l'opération est la composition o, ce que tu doit montrer, c'est que, quelque soient les applications f,g,h de X dans X, on a fo(goh)=(fog)oh.
Donc par rapport à ce que tu as écrit,
- Déjà, il te faut 3 applications et pas 2.
- Il faut que tu montre que ça marche quelque soient les applications f,g,h donc c'est pas suffisant de raisonner avec UNE seule application f et UNE seule application g (ça peut juste permettre de comprendre de quoi il retourne).

Enfin, et pour finir, pour démontrer que deux applications sont les mêmes, donc par exemple pour montrer que fo(goh)=(fog)oh, ben il faut revenir à la définition de l'égalité des applications : deux applications sont égales lorsqu'elles ont même ensemble de départ, même ensemble d'arrivé et que les éléments de l'ensemble de départ ont tous le même image par les deux addlications.
Bref, pour montrer que fo(goh)=(fog)oh, ce qu'il faut montrer, c'est que fo(goh)(x)=(fog)oh(x) pour tout x de X.

[xGiAx]

Salut
La définition de l'associativité, tu la trouvera n'importe où (et infiniment plus rapidement sur Wiki que... sur une vidéo...) :
Une opération interne # sur un ensemble E est dite associative lorsque, pour tout x,y,z de E, on a x#(y#z)=(x#y)#z.

Donc, dans le cas où E est l'ensemble des applications d'un ensemble X dans lui même et où l'opération est la composition o, ce que tu doit montrer, c'est que, quelque soient les applications f,g,h de X dans X, on a fo(goh)=(fog)oh.
Donc par rapport à ce que tu as écrit,
- Déjà, il te faut 3 applications et pas 2.
- Il faut que tu montre que ça marche quelque soient les applications f,g,h donc c'est pas suffisant de raisonner avec UNE seule application f et UNE seule application g (ça peut juste permettre de comprendre de quoi il retourne).

Enfin, et pour finir, pour démontrer que deux applications sont les mêmes, donc par exemple pour montrer que fo(goh)=(fog)oh, ben il faut revenir à la définition de l'égalité des applications : deux applications sont égales lorsqu'elles ont même ensemble de départ, même ensemble d'arrivé et que les éléments de l'ensemble de départ ont tous le même image par les deux addlications.
Bref, pour montrer que fo(goh)=(fog)oh, ce qu'il faut montrer, c'est que fo(goh)(x)=(fog)oh(x) pour tout x de X.

Ok d'accord, je crois que je comprend. Donc on ne peut pas prouver l'associativité avec seulement de applications, tels que g et f, c'est ça ? Il en faudrait trois ?
Et bien je fais vraiment des maths par plaisir... donc si je veux comprendre, la manière la plus adapté pour moi ce sont les vidéos, la page wikipedia n'est pas suffisante à elle toute seule.

Mais c'est bizarre que dans sa vidéo il dit, qu'on peut y prouver l'associativité.

[catamat]

Bonjour
Ben314 vous a tout dit...
mais ce n'est pas difficile comme démonstration, il suffit de donner des noms aux images de x pour prouver l'égalité.

Intuitivement gof c'est "f suivie de g"
donc fo(goh) c'est "goh suivie de f" et donc "(h suivie de g) suivie de f"
et
(fog)oh c'est "h suivie de fog" et donc "h suivie de (g suivie de f)"
on voit plutôt bien que l'on va obtenir la même image quel que soit le x de départ.

Mais pour le démontrer il faut donner des noms aux images successives et ne pas s' emmêler dans les parenthèses :
Appelons y l'mage de x par h
z l'image de y par g
et t l'image de z par f
(fog)oh(x)=(fog)[h(x)]=(fog)(y)=f[g(y)]=f(z)=t
fo(goh)(x)=f[(goh(x)]=f(g[h(x)])=f[g(y)]=f(z)=t

[xGiAx]

Bonjour
Ben314 vous a tout dit...
mais ce n'est pas difficile comme démonstration, il suffit de donner des noms aux images de x pour prouver l'égalité.

Intuitivement gof c'est "f suivie de g"
donc fo(goh) c'est "goh suivie de f" et donc "(h suivie de g) suivie de f"
et
(fog)oh c'est "h suivie de fog" et donc "h suivie de (g suivie de f)"
on voit plutôt bien que l'on va obtenir la même image quel que soit le x de départ.

Mais pour le démontrer il faut donner des noms aux images successives et ne pas s' emmêler dans les parenthèses :
Appelons y l'mage de x par h
z l'image de y par g
et t l'image de z par f
(fog)oh(x)=(fog)[h(x)]=(fog)(y)=f[g(y)]=f(z)=t
fo(goh)(x)=f[(goh(x)]=f(g[h(x)])=f[g(y)]=f(z)=t

Merci beaucoup, j'ai compris, ça m'a beaucoup aidé !

[Ben314]

Si tu veut mon opinion (que je partage avec moi même donc ça vaut... ce que ça vaut...), les vidéos, c'est de loin le support le plus nul que tu puisse avoir en math :
- Déjà, devant une vidéo tu est totalement passif alors que, faire des maths, c'est forcément être (très) actif.
Il n'y a qu'une seule façon de progresser en math : chercher (activement...) des exercices.
- Quand tu cherche un truc, tu es obligé se te taper toute la vidéo pour voir si le truc que tu cherche est ou n'est pas dans la vidéo en question donc une perte de temps considérable (et souvent pour des clous complet si tu cherche un truc précis).
- Je suis à peu prés convaincu que la mode des vidéo, c'est lié au fait que de plus en plus de personnes ont des difficultés de lectures/écriture (y'a qu'à voir le niveau moyen en grammaire pour ce faire une idée . . .) donc il y a une proportion importantes de vidéos (*) faites par des types du fait qu'ils seraient incapable de rédiger un texte correctement (et que c'est bien plus rapide de faire une vidéo qu'un texte propre) ce qui fait que des vidéos avec des conneries monstrueuses à l’intérieur, tu en trouvera infiniment plus que dans des textes.

(*) Mais évidement pas toutes : dans la Fac où j'était, il y a pas mal de collèges qui ont fait des vidéos alors qu'ils sont parfaitement capable (et pour cause...) de pondre des poly.
Alors pourquoi ont-ils fait des vidéos ? Parce qu'il pensaient que le support était utile ?
Non, absolument pas : ils ont fait des vidéos parce que le ministère file du fric aux départements qui utilisent des "nouvelles technologies" et que les vidéos rentrent dans le cadre "nouvelle technologies" et, que, en particulier depuis les lois dites "d'autonomie" (sic...), tout est bon à prendre si on veut pas couler la baraque.

[xGiAx]

Si tu veut mon opinion (que je partage avec moi même donc ça vaut... ce que ça vaut...), les vidéos, c'est de loin le support le plus nul que tu puisse avoir en math :
- Déjà, devant une vidéo tu est totalement passif alors que, faire des maths, c'est forcément être (très) actif.
Il n'y a qu'une seule façon de progresser en math : chercher (activement...) des exercices.
- Quand tu cherche un truc, tu es obligé se te taper toute la vidéo pour voir si le truc que tu cherche est ou n'est pas dans la vidéo en question donc une perte de temps considérable (et souvent pour des clous complet si tu cherche un truc précis).
- Je suis à peu prés convaincu que la mode des vidéo, c'est lié au fait que de plus en plus de personnes ont des difficultés de lectures/écriture (y'a qu'à voir le niveau moyen en grammaire pour ce faire une idée . . .) donc il y a une proportion importantes de vidéos (*) faites par des types du fait qu'ils seraient incapable de rédiger un texte correctement (et que c'est bien plus rapide de faire une vidéo qu'un texte propre) ce qui fait que des vidéos avec des conneries monstrueuses à l’intérieur, tu en trouvera infiniment plus que dans des textes.

(*) Mais évidement pas toutes : dans la Fac où j'était, il y a pas mal de collèges qui ont fait des vidéos alors qu'ils sont parfaitement capable (et pour cause...) de pondre des poly.
Alors pourquoi ont-ils fait des vidéos ? Parce qu'il pensaient que le support était utile ?
Non, absolument pas : ils ont fait des vidéos parce que le ministère file du fric aux départements qui utilisent des "nouvelles technologies" et que les vidéos rentrent dans le cadre "nouvelle technologies" et, que, en particulier depuis les lois dites "d'autonomie" (sic...), tout est bon à prendre si on veut pas couler la baraque.

Je comprends ce que tu dis. Je travaille en base avec les livres et je complète avec de nombreux supports comme internet, youtube ... Peut-être que les vidéos ne sont pas une bonne manière d'apprendre ou d'assimiler des notions en mathématique. Mais jusqu'ici, c'est ce qui a le mieux fonctionné pour moi, déconstruire une notion et la reconstruire avec ma vision des choses. J’étudie par moi-même, donc je suis bien obligé de trouver des moyens pour que ça marche. Le fait est que chaque personne est différente et doit apprendre à se débrouiller seule parce qu'aujourd'hui le savoir n'est pas accessible gratuitement. Si j'avais l'opportunité d'échanger et de m'instruire avec des gens autour de moi, je l'aurais déjà fait parce que c'est bien plus sympa d'étudier de cette manière. Mais trouver quelqu'un qui étudie les maths pour le plaisir surtout avec ma génération ... Ce n'est pas chose facile.