Tableau de variations

[Anonyme]

Je souhaiterais qu'on m'aide a trouver les variations de cette fonction f(x)= (4e^x-1)/e^2x j'ai trouver que f'(x) faisait f'(x)=-e^2x/(e^2x)² je c pas si c bon mais c après que je bloque je n'y arrive pas.
Merci

[Michaël]

on peut noter f(x)=u(x)/v(x) avec
u(x)=4e^x-1 et v(x)=e^(2x)
lorsque tu calcules f ' :(sur lensemble des reels)
f ' (x) =[ u '(x)v(x)-v'(x)u(x) ]/[v(x)²]
càd f ' (x)=[4e^x*e^2x-2e^x*(4e^x-1)]/[(e^(2x))²]
tu simplifies avec e^p*e^q=e^(p+q) avec p,q entiers relatifs
et 1/(e^q) =e^(-q)
tu obtiens f ' (x)=2*e^(-2x)*(1-2*e^x) donc f ' (x) est du signe de 1-2*e^x car l'exponentielle est positive sur lensemble des reels

ensuite il faut tracer le tableau de variations de f en sachant que si f ' positive (respectivement negative) sur un intervalle alors f est croissante (resp. decroissante) sur cet intervalle
ici, f ' (x) positive <=> 1-2*e^(x) >0 (superieur ou egal)
<=>1/2 >e^x (superieur ou egal)
<=> -ln(2) > x (superieur ou egal)

donc f est croissante sur ]-infini,-ln(2)] et f decroissante sur [-ln(2),+infini[
ensuite il faut voir les limites aux bornes:
en -infini :lim f(x),x->-infini=-infini car e^x->0+ qd x->-infini
en -ln(2) :lim f(x),x->-ln(2)=4 car a^b=e^(b*ln(a)) ;a positif(strict) et b reel
et 1/(e^q) =e^(-q) ;q reel

en +infini: lim f(x),x->+infini=0 car f(x)=4*e^(-x)-1/[e^(2x)]->0 qd x->+infini

et voila.jespere avoir été assez clair.bon courage.

[Anonyme]

je n'ai pas tres bien compris les simplifications que tu a fait pour la dérivée j'ai besoin d'un petit eclaircissement stp.
merci

[Anonyme]

svp aidez moi!!

[Michaël]

tu as f ' (x)=[4*e^x*e^2x-2*e^2x*(4e^x-1)]/[e^4x]
=e^2x*(4*e^x-8*e^x+2)/[e^4x]
=e^2x*(-4*e^x+2)/[e^4x]
=2*e^2x*(-2*e^x+1)/[e^4x]
avec e^2x/[e^4x]=e^(-2x) tu obtiens
=2*e^(-2x)(1-2*e^x)

et voila.
bon courage.