Droites parallèles

[dragonou]

Bonjour , j'ai 2 droites d'équations :

D1 (x+y+1=0 ; x-y+2z=0)
D2 (2x+2y+1=0 ; 3x-3y+6z+1=0)

Je dois montrer qu'elles sont parallèles et je dois déterminer l'équation du plan qu'elles déterminent .

Pour montrer qu'elles sont parallèles je peux dire que les coefficients a b et c sont proportionnels mais c'est pas très rigoureux donc j'ai essayé de résoudre le système et une opération élémentaire n'a pas marché , par exemple si je fais :

2x+2y+1 - 2(x+y+1) = 0 on voit que çà ne marche pas , celà suffit comme justification ?

Ensuite pour déterminer l'équation du plan j'ai pris un vecteur normal au plan , par exemple u(1,1,0) , je considère un point M(x,y,z) et je prends un point d'une droite , par exemple A(-2,1,3/2) et je fais :

1(x+2) + 1(y-1) + 0 = 0

L'équation du plan est x+y+1 = 0 , est ce juste ?

merci

[johnjohnjohn]

Bonjour , j'ai 2 droites d'équations :

D1 (x+y+1=0 ; x-y+2z=0)
D2 (2x+2y+1=0 ; 3x-3y+6z+1=0)

Je dois montrer qu'elles sont parallèles et je dois déterminer l'équation du plan qu'elles déterminent .

Pour montrer qu'elles sont parallèles je peux dire que les coefficients a b et c sont proportionnels mais c'est pas très rigoureux donc j'ai essayé de résoudre le système et une opération élémentaire n'a pas marché , par exemple si je fais :

2x+2y+1 - 2(x+y+1) = 0 on voit que çà ne marche pas , celà suffit comme justification ?

Pour déterminer qu'elles sont parallèles, j'essaierais d'établir que leur vecteur directeur sont colinéaires. Comment déterminer leur vecteur directeur ?? C'est là que je te propose la solution suivante mais il y a peut être moins bourrin :

D1 : Tu prends le vecteur normal du plan P1: x+y+1=0 , le vecteur normal du plan P'1:x-y+2z=0, et tu obtiens le vecteur directeur de D1 en calculant le produit vectoriel

u1=n1^n'1

Même principe pour D2. Tu regardes ensuite si u2 et u1 sont liés. ( u2=k.u1)

Pour l'équation du plan : un vecteur normal de ton plan est celui issu du produit vectoriel : u1^u2

C'est super calculatoire mais ça convient. Cependant, il doit y avoir plus fin
Si tu n'as pas étudié le produit vectoriel, cette méthode ne convient évidement pas. Les autres t'aideront alors, ça me permettra de me rafraichir la mémoire.

[dragonou]

ta méthode est très bien merci je vais l'essayer mais pq on doit faire le produit vectoriel , le produit scalaire çà marche pas ? :

vecteur normal n1 * n'1 = (1,1,0)*(1,-1,2) = 2,-2,-2

vecteur normal n2 * n'2 = (2,2,0)*(3,-3,6) = 12,-12,-12

bon on remarque direct que k = 6

et pour l'équation du plan je peux le faire soit par un produit scalaire ou vectoriel , pq s'emmerder avec un produit vectoriel ? :)

et il me faut un point non pour trouver l'équation du plan , tu en as un , comment le choisir?

[johnjohnjohn]

ta méthode est très bien merci je vais l'essayer mais pq on doit faire le produit vectoriel , le produit scalaire çà marche pas ? :

Le produit scalaire est un NOMBRE ! Tu ne pourras jamais dire qu'un nombre est colinéaire à un autre, ça n'a pas de sens.

et pour l'équation du plan je peux le faire soit par un produit scalaire ou vectoriel , pq s'emmerder avec un produit vectoriel ?

Pour établir l'équation du plan oui tu passeras par un produit scalaire. Mais pour obtenir le vecteur qui intervient dans ce produit scalaire, tu passes par un produit vectoriel ( ou toute autre méthode qui aboutit à la détermination d'un vecteur normal à ce plan )

et il me faut un point non pour trouver l'équation du plan , tu en as un , comment le choisir?

Tu choisis un point qui satisfait aux équations de D1 ( celles des deux plans ) ou celles de D2.

[dragonou]

je fais u1*u2 ( ce qui me parait très étrange car je vois pas pq le produit de 2 vecteurs parallèles donnerait un vecteur normal çà n'a aucun sens ) çà me fait (2,-2,-2)*(12,-12,-12) , soit (0,0,0) , c'est pas le vecteur normal au plan c'est pas possible qu'en penses tu ?

[johnjohnjohn]

je fais u1*u2 ( ce qui me parait très étrange car je vois pas pq le produit de 2 vecteurs parallèles donnerait un vecteur normal çà n'a aucun sens ) çà me fait (2,-2,-2)*(12,-12,-12) , soit (0,0,0) , c'est pas le vecteur normal au plan c'est pas possible qu'en penses tu ?

Je ne suis pas convaincu que tu maitrises la définition du produit vectoriel. Si tu ne l'as pas étudié en cours, ce n'est pas ta faute. Voici un lien utile si tu n'as pas ton cours sous la main :




http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_vectoriel



( considère surtout le chapitre "définition" et le chapitre "propriétés" )

[dragonou]

si si je connais le produit vectoriel mais là j'ai beau cherché je vois pas où est mon erreur , j'applique ce que tu mas conseillé...

[johnjohnjohn]

si si je connais le produit vectoriel mais là j'ai beau cherché je vois pas où est mon erreur , j'applique ce que tu mas conseillé...

On va déterminer un vecteur directeur u1 de la droite (D1) :

D1 (x+y+1=0 ; x-y+2z=0)

P1: x+y+1=0; n1(1,1,0) vecteur normal à P1
P'1:x-y+2z=0 n'1(1,-1,2) vecteur normal à P2


base orthonormée directe :








A toi de jouer pour u2 vecteur directeur de (D2) !