Problème d'encadrement

[Chalta]

Bonjour !
Pour un premier post, je vais peut-être passée pour une quiche, m'enfin j'ai l'habitude !
je voudrais avoir de l'aide, pour une première question de DM :

On a u tel que 0 =< u < 1
Montrez que ln(1-u) =< - u

le problème se pose quand je passe au logarithme népérien, parce que ln 0 -> - inf ...

Merci de votre aide !

[yuki]

Salut !
et si tu essaies de démontrer que la fonction u -> ln(1-u) + u est à valeurs dans R- sur [0,1[? :id:
(il y a peut être plus rapide, mais çà, çà risque de marcher)

[Gary O]

Pour aller plus vite, on peut utiliser la concavité du log, mais je ne sais pas si tu connais cette notion.

[Chalta]

Je viens de faire l'étude de la fonction, ça marche. Merci yuki :++:
mais ça m'embête de faire quand même une étude de fonction pour une première question de DM sur les intégrales généralisées

m'enfin, mieux vaut un gros truc qui marche que rien du tout ^^


et heu non, je ne connais pas la concavité du log :doh:

[Gary O]

On dit qu'une fonction f est concave sur un intervalle si elle vérifie pour tout x,y dans l'intervalle et tout t dans [0,1] f(tx+(1-t)y)<=tf(x)+(1-t)f(y). On montre que ça équivaut, pour une fonction dérivable, à ce qu'elle soit "en dessous" de toutes ses tangentes, ou, si elle est deux fois dérivable, que sa dérivée deconde soit négative. Il y a aussi les fonctions convexes, qui vérifient les propriétés inverses. ;)

[Chalta]

Si, j'ai du voir ça en sup, en complément de cours, parce que ça ne concerne pas notre programme.

Déjà que j'ai du mal avec mon programme seul, je me suis pas rajoutée ce problème :dodo:

Mais merci de l'explication :++:

[Joker62]

ln étant concave, elle est en dessous de toutes ses tangentes et donc de sa tangente en 0 qui vaut y = -x

y = f'(x0)(x-x0) + f(x0) et donc on a clairement

ln(1-x) <= -x