Géométrie dans l'espace TS

[Henry]

Bonjour,
j'ai un exercice à faire sur la géométrie dans l'espace et je bloque à la question 4.
Je n'ai pas non plus réussi la 5.a) et je pense que c'est parce que la réponse à la question précédente devrait être utilisée.
Merci de votre aide

Voila l'exercice:
V= racine de
vec=vecteur
L=lambda
AMB= angle AMB
Dans l'espace muni du repère orthonormal (o;i;j;k), on considère les points:
A(2;0;0), B(-1;V3;0) et C(-1; -V3 ;0).
1. Placer sur une figure les points A,B et C dans le plan (O;i;j).
2. Montrer que le triangle ABC est équilatéral et que O est son centre.
J'ai fait: AB=BC=AC donc ABC est un triangle équilatéral.
3.a) Déterminer l'ensemble des points M de l'espace équidistants des points A et B.
En posant AM=BM, je trouve:y=(3/V3)x équation de plan que je note P1.
b)Déterminer l'ensemble des points N de l'espace équidistants des points B et C.
En posant BN=CN, je trouve y=0 équation de plan que je note P2.
c)En déduire que l'ensemble des points P de l'espace équidistants des points A,B et C est l'axe (O;k).
Je trouve:
Il s'agit de l'intersection des deux plans.
On obtient P=P1 inter P2
On pose:
y=(3/V3)x => y=0
y=0 x=0 Il s'agit de l'équation de (O;k).

4. Montrer qu'il existe un unique point D dont la troisième coordonnée est positive, tel que le tétraèdre ABCD soit régulier et calculer ses coordonnées.
C'est là que je bloque. J'ai tout de même essayé quelquechose.
J'ai posé un système à 3 inconnues mais le problème c'est qu'il y a des racines et je ne sais pas comment m'en sortir.
Voila, ce que j'ai fait:
On cherche D(d1,d2,d3) tel que:
CD=AB=2V3
DA=2V3
DB=2V3
Avec d3>0, on a:
DA=V((2-d1)²+d2²+d3²)=2V3 (1)
DC=V((-1-d1)²+(-V3-d2)²+d3²)=2V3 (2)
DB=V((-1-d1)²+(V3-d2)²+d3²)=2V3 (3)

(1):
V((2-d1)²+d2²+d3²)=2V3
<=>(2-d1)²+d2²+d3²=12
<=>d1=2-V(12-d2²-d3²)

Je remplace (1) dans (2) et j'ai:
(2):
V((-1-d1)²+(-V3-d2)²+d3)=2V3
<=>(-1-d1)²+(-V3-d2)²+d3=12
<=>(-1-(2-V(12-d2²-d3²)))²+(-V3-d2)²+d3=12
<=>2V(12-d2²-d3²)-d3²+3+2V3d2+d3=0
et là, je ne sais pas comment continuer et sortir le d2.

5. Soit M un point quelconque du segment [CD].
On pose vec(CM)=L*vec(CD) avec L appartient à [0;1].
a) Montrer que cos (AMB)=(2L²-2L+1)/(2(L²-L+1)).

Pour la suite de l'exercice il n'y a pas trop de problèmes sauf que pour la c) j'ai des doutes. L'angle AMB est maximum lorsque cos(AMB)=1, c'est à dire lorsque AMB =0. Mais quelle est le lien entre AMB et L. En plus dans le tabeau de variation la fonction est décroissante puis croissante. Je pense qu'on devrait plutôt avoir une fonction croissante puis décroissante.

On définit la fonction f de IR dans IR par la relation
f(L)=(2L²-2L+1)/(2(L²-L+1))=1-(1/(2(L²-L+1))).
b) Etudier les variations de la fonction f.
c) En déduire la position de M pour laquelle l'angle AMB est maximum.
d) Quelle est la valeur de ce maximum?

[kbalist]

salut

pour la 4, ce n'est pas un système à 3 inconnues : d'après la 3, D est équidistant de A, B, C donc sur l'axe (Ok), ses 2 premières coordonnées sont nulles...il ne reste qu'une inconnue.

L'ensemble des points équidistants de A, B, C est la droite (Ok), il existe 2 points D possibles pour compléter le tétraèdre, ces 2 points étant symétriques par rapport au plan ABC ( =xOy ), D est clairement unique si sa 3ième coordonnée est positive.

[Henry]

Bonjour,
J'ai trouvé D(0;0;2V2) et pour la 5 a) je bloque aussi. Je n'arrive pas à trouver l'expression de cos AMB. J'ai essayé le théorème d'Al-Kashi mais je n'y arrive toujour pas.
J'ai:
AD²=AM²+DM²-*AM*DM*cos AMD
<=>(-2)²......
Après de nombreux calculs, j'arrive à:
8L²-4L-6=V(16²+8L+24) cos AMB

Encore merci

[angelik2]

salut !

tu as vecCM= LvecCD tu dis donc que M est le barycentre des points (D,L)et (C,1-L) ensuite tu calcules les coordonnées du point M grace à cette relation.

Ensuite tu utilises la relation cos(AMB)=(vecMA scalaire vec MB)/ (MA* MB) en calculant normes et produit sacalaires des 2 vecteurs
et voilà sauf erreur de calcul tu devrais trouver la réponse.

bizz

[Henry]

Je ne trouve toujours pas.
J'ai fait:
cos AMD=[vec(MA).vec(MB)]/MA*MB
<=>cos AMD=[vec(MA).vec(MH)]/MA*MB avec H le projeté orthogonal de B sur (MA).
or M(-2L-1;-V3;(2V2)L)
Donc on continue:
<=>cosAMD=(V([2-(-2L-1)]²+(-V3)²+(2V2)²)*(V([2-(-2L-1)]²+(-V3)²+(2V2)²)/2))/[V([2-(-2L-1)]²+(-V3)²+(2V2)²)*V(-1+2L+1)²+(V3+V3)²+(-2V2)²]
<=>.....
<=>cos AMD=V(12L²+4L+4)/(2V(12L²+12))
Et donc je ne trouve pas la réponse.
Comment faire? J'ai revérifié mon calcul et il n'y aucune erreur de calcul.
Pour trouver les coordonnées de M, je n'ai pas utiliser le barycentre car je ne sais plus comment faire. J'ai simplement posé un système d'équation à 2 inconnues( vec(CM)=Lvec(CD)) et j'ai trouvé M(-2L-1;-V3;(2V2)L).

Encore merci

[angelik2]

je pense que tu as fait une erreur pour les coordonnées de M je les ai recalculé en faisant x(m)-x(c)=L((x(d)- x(c)) et ainsi de suite ( car vec CM= L vec CD) et je trouve M ( L-1 , -V3 + LV3, 2LV2) et après sa marche en faisant le calcul que je t'ai dit

(rappel : Si G bar (A,a)(B,b) alors x(g)=(ax(A)+bx(B))/ a+b
y(g) =(ay(A)+by(B))/ a+b
z(g) =(az(A)+bz(B))/ a+b )

[Henry]

Re,
Avec les bonnes coordonnées de M, j'ai:
cos AMD=[vec(MA).vec(MB)]/MA*MB
<=>cos AMD=[vec(MA).vec(MH)]/MA*MB avec H le projeté orthogonal de B sur (MA).
<=>cos AMB=(MA*MH)/(MA*MB)
avec MA=MB=V(12L²-12L+12)
<=>cos AMB=(MA*(MA/2))/(MA*MB)
<=>...
<=>cos AMB=1/2 ce qui est faux.

Je pense que je me suis tromper et MH est différent de MA/2. J'ai pensé à faire autrement avec la définition du produit scalaire mais je ne sais pas comment calculer:||vec(MA)+vec(MB)||
J'ai déjà:vec(MA)+vec(MB) (3-2L;V3+2V3-2LV3;-4V2L) mais comment ensuite calculer la norme ||vec(MA)+vec(MB)||?
Merci

[angelik2]

salut
tu te compliques trop avec le projeté orthogonal il te suffit simplement de calculer le produit scalaire de vec MA et vec MB en calculant les coordonnées des 2 vecteurs ( vec u scalaire vec v = xx'+yy'+zz' avec u(x,y,z) et v (x',y',z')) et après tu calcules les normes de chaques vecteurs ( norme de u= Vx²+y²+z²) et tu utilises la formules

[Henry]

Salut,
c'est bon j'avais déjà tout trouvé avant que tu m'es envoyé le message.
Encore merci