Démontrer la continuité à l'aide de la définition

[Lionel19]

Bonjour,

La question vient de < Peter D. Lax, "Chapter 2 Fucntions" dans Multivariable Calculus with application

En soi, c'est supposé être facile, je suis surement entrain de louper quelque chose d'évident. Je serais très reconnaissable à toute votre aide

La question :

2.27. The slope of the graph of cos(cx) lies in the interval [−c,c]. Fill in the missing numbers.

(a) if |x−a| < (?) then | cos(2x)−cos(2a)| < ε (réponse : ε/2)

Je suis familier avec ce genre de problèmes, j'en ai résolu pas mal. Cette fois ci, j'ai un peu tout essayé, mais je n'arrive pas à faire un lien entre la première inégalité et la deuxième.

Voici mon progrès :

|cos(2x)−cos(2a)| = | 2cos²(x) - 1 - 2cos²(a) + 1| = | 2((cos²(x)- cos²(a))| =< 2 |cos²(x)- cos²(a)| =< 2
car cos²(x) et cos²(a) sont positifs et comprises entre [0,1], et donc |(cos²(x)- cos²(a)| =< 1

Merci !

[Rdvn]

Bonsoir,
Il est facile d'obtenir le résultat du (a) par l'égalité des accroissements finis.
Mais si le but est de démontrer la continuité de la fonction cos , ça fait bizarre :
on a déjà utilisé le fait que cos est dérivable sur R, donc continue sur R...
Pouvez vous préciser davantage le contexte ?

[Ben314]

Salut,
Rappel de trigo :
qui implique que .
On en déduit évidement que
Donc, si on prend et , c'est à dire et , on a :


Application :

Vu que et que

P.S. Et normalement, tout ces résultats sont classique et vu au Lycée vu que c'est à peu prés la seule façon de démontrer que la dérivée (en tout point) de la fonction cosinus, c'est la fonction -sinus en partant de la seule constatation (qui se démontre par la géométrie) que sin(x)/x tend vers 1 lorsque x tend vers 0.

[Ben314]

Et comme j'ai rien d'autre à f... je rappelle aussi que l'inégalité "de base" se déduit d'une simple considération géométrique :
Pour , par définition (du sinus, du cosinus et de l'unité angulaire "radian"), le réel c'est la longueur de l'arc de cercle allant de à (sur le cercle trigo. bien sûr).
Et comme le plus court chemin entre deux points c'est la ligne droite, c'est que est supérieur à la longueur de la corde reliant à qui est l’hypoténuse d'un triangle rectangles de cotés et . Et comme l’hypoténuse est plus grande que les autres cotés, ça prouve que est plus grand que .

Et si on veut faire (bien plus) précis, en utilisant Pythagore, on a :
c'est à dire
Qui permet de montrer que la fonction cosinus est dérivable en 0 (et de dérivée nulle)

[Lionel19]

Bonsoir,
Il est facile d'obtenir le résultat du (a) par l'égalité des accroissements finis.
Mais si le but est de démontrer la continuité de la fonction cos , ça fait bizarre :
on a déjà utilisé le fait que cos est dérivable sur R, donc continue sur R...
Pouvez vous préciser davantage le contexte ?

Bonjour, oui. Le contexte est plus clair quand on reviens à la chapitre de l'exercice concerné dans le livre, plus particulièrement cette définition :


Le contexte du problème vient surement de celle ci. Dans notre cas, c'est une fonction scalaire, et il faut faire quelques ajustements à la définition (F(X) -> f(x), Y -> y, ||(...) || -> |(...)|, etc....), et nous devinons alors :

f(x) = cos(2x) sur l'intervalle [-2,2]
y = a : point quelconque non donnée

=> if |x-a| < (?) then |f(x) - f(a)| < ε
=> if |x-a| < (?) then |cos(2x) - cos(2a)| < ε

Et comme j'ai rien d'autre à f... je rappelle aussi que l'inégalité "de base" se déduit d'une simple considération géométrique :
Pour , par définition (du sinus, du cosinus et de l'unité angulaire "radian"), le réel c'est la longueur de l'arc de cercle allant de à (sur le cercle trigo. bien sûr).
Et comme le plus court chemin entre deux points c'est la ligne droite, c'est que est supérieur à la longueur de la corde reliant à qui est l’hypoténuse d'un triangle rectangles de cotés et . Et comme l’hypoténuse est plus grande que les autres cotés, ça prouve que est plus grand que .

Et si on veut faire (bien plus) précis, en utilisant Pythagore, on a :
c'est à dire
Qui permet de montrer que la fonction cosinus est dérivable en 0 (et de dérivée nulle)

C'est bien ça!

en effet comme tu l'as dit, si |sin(t)| < |t|, alors :

|cos(2x) - cos(2a)| < 2|x-a|

et donc, il faut choisir δ = ε/2 pour satisfaire les inégalités :

if |x-a| < δ then |cos(2x) - cos(2a)| < 2|x-a| < 2δ = ε

Merci beaucoup!

[Rdvn]

Bonsoir,

La solution proposée par Ben est, bien sûr, très bonne,
n'utilisant que des propriétés « élémentaires ».

Cependant, vu le niveau du livre, l'utilisation de l'égalité des accroissements finis
n'est pas délirante : on a
cos(2x)-cos(2a) = -2sin(2c).(x-a) où c est un réel situé entre x et a .
D'où le résultat pour la question (a).
Ce qui est gênant, c'est prétendre prouver ainsi la continuité (ma remarque en première réponse), mais finalement était ce qui était demandé ? La question posée n'en parlait pas...

Qu'en pensez vous ?

[Ben314]

Cependant, vu le niveau du livre, l'utilisation de l'égalité des accroissements finis
n'est pas délirante : on a
cos(2x)-cos(2a) = -2sin(2c).(x-a) où c est un réel situé entre x et a .
D'où le résultat pour la question (a).
Qu'en pensez vous ?

En général, en début de post-bac, on essaye de tout reconstruire de façon "propre" (si ça a pas changé depuis que je n'enseigne plus) donc de ne pas utiliser les résultats vu au Lycée tant qu'ils n'ont pas été revu (et démontré de façon plus rigoureuse) en post bac.
Donc il n'est bien sûr pas question d'utiliser des résultat du chapitre "dérivée" dans le chapitre "continuité" qui précède forcément (*) celui sur les dérivées.

(*) En post-bac vu que je me souvient encore de la façon dont mes cheveux se sont dressés sur ma tête lorsque, pour la première fois, un de mes étudiants (juste bachelier) m'a donné comme théorème que : "une fonction est intégrable quand elle est dérivable" : la continuité venait d'être zappée du Lycée et forcément il avait fallu mettre des rustines . . .

[Rdvn]

Tout ceci est à prendre en considération, mais il faudrait que Lionel19 en dise plus sur le type d'étude qu'il suit, sur les chapitres qui ont précédé celui ci..et même sur l'exercice au complet
Personnellement, comme je le disais plus haut, je ne suis pas sûr que le but soit de prouver la continuité de la fonction évoquée

[Lionel19]

Cependant, vu le niveau du livre, l'utilisation de l'égalité des accroissements finis
n'est pas délirante : on a
cos(2x)-cos(2a) = -2sin(2c).(x-a) où c est un réel situé entre x et a .

Ohh, je comprends mieux ce que vous vouliez dire maintenant. Simple et efficace



Oui, c'est vrai que le titre vient de moi, pas de mention de "prouver la continuité" dans l'énoncé de l'auteur. Mais je pensais que l'exercice en soi était une preuve. Car l'auteur démontre de manier similaire dans les autres problèmes et c'est aussi comme ça que l'on nous enseigne dans le cours.

Je suis en ingé civil, le cours c'est Analyse, la partie multivariée (oui, cos(2x) est scalaire :/ ). J'ai déjà fini l'analyse uhh "classique/scalaire" ?? Donc, c'est vrai que je n'ai plus besoin de me limiter à la définition pour prouver la continuité

[Rdvn]

OK
Il ne vous reste plus qu'à retravailler les deux solutions qui vous ont été proposées (Ben314 et moi)
Bon courage