Problème d'énoncé ou...

[hervedo]

Bonjour,
Je viens vers vous car j'ai un petit soucis.
J'ai résolu un exercice mais dans un cas différent de l'énoncé, du coup, soit il y a un problème dans l'énoncé soit le problème c'est moi
Soit A une matrice inversible de rang k et C une matrice de rang=r.
Il faut montrer que C*A*B est inversible (C de forme (r,k), A de forme (r,r) et B de forme (k,r).

De la forme de CAB (r,r) on en déduit que rang(CAB)<=r...il ne reste plus qu'à prouver que rang(CAB)>=r...
c'est là que ça coince car je l'ai prouvé pour rang(C)=k...je me dis que soit il y a un bug d'énoncé soit j'ai un bug de raisonnement. Si vous avez des idées ou un contre-exemple qui prouverait que l'énoncé n'est pas correct je suis preneur...Merci.

[Ben314]

Salut,
Je comprend rien à ton truc . . .
Déjà, la notion de "matrice inversible de rang k", c'est quand même on ne peut plus louche : une matrice inversible, son rang, c'est évidement sa dimension donc une "matrice inversible de rang k", c'est une matrice inversible de taille k x k.
Sauf que, la ligne suivante, la même matrice A est présentée comme une matrice r x r . . .

Et pour finir, de vouloir montrer que le produit de matrice CxBxA est inversible avec absolument aucune hypothèse concernant la matrice B, tu as pas l’impression que ça va être un tout petit peu délicat ?

Bref, est-ce que tu pourrait donner LE VRAI énoncé de ton problème.

[hervedo]

Oups, A est de taille k*k, désolé j'ai voulu rajouter ça et je n'ai pas fait gaffe.
Par contre ce n'est pas C*B*A qu'on regarde mais C*A*B comme je l'ai écrit.
Je n'ai aucune hypothèse sur B sauf qu'elle est de taille k*r.
De rang(C)=r j'en déduis que r<=k (car C est de la forme r*k et que rang(C)<=min(r,k)...je me suis même permis r<k sinon C serait inversible).
B étant de taille k*r j'en déduis que rang(B)<=min(k,r)=r.
Ensuite j'ai rang(CAB)>=rang(CA)+rang(B)-k=rang(C)+rang(B)-k=2r-k...(A étant inversible rang(CA)=rang(C))
et c'est là que je me dis qu'il y a un truc qui cloche.
Voilà où j'en suis.

[Ben314]

. . . ce n'est pas C*B*A qu'on regarde mais C*A*B. . .

Ca ne change absolument rien au problème : sans hypothèse sur la matrice B, elle pourrait parfaitement être nulle et un produit quelconque dans lequel B apparaît serait nul donc pas du tout inversible (et ce, quelque soit les autres matrices et quelque soit l'ordre du produit).