Calcul du volume d'intersection entre un pavé et un cône

[nyandog]

Bonjour,

Je cherche à calculer le volume de l'intersection entre un pavé et un cône infini.

Le pavé est défini par son centre O et les trois dimensions de ses côtés.
Le cône est défini par son sommet P, le vecteur unitaire directeur G de sa hauteur, et le demi angle alpha entre la hauteur et le cône.

J'ai actuellement calculer les équations des surfaces du cube et du cône et je suppose qu'avec une integrale triple de la difference des équations on doit pouvoir trouver le volume de l'intersection.

Le calcul semble assez complexe donc je suis preneur de toute idée pour résoudre le sujet.

Merci d'avance,

[lyceen95]

Intégrale triple, tu risques de galérer, je propose une autre approche.

Ton pavé a 6 faces.
Etape 1 : Déterminer quelles faces ont une intersection avec le cône.
Etape 2 : Pour chaque face concernée, on a 4 calculs à faire :
2a) calculer la surface S_i de cette face qui est dans le cône.
2b) calculer la distance D_i entre le plan de cette face et le sommet du cône
2c) calculer le volume V_i=S_i* D_i/3 : on a une portion de cône, et cette formule donne son volume.
2d) déterminer si le sommet du cône est du bon côté du plan ou du mauvais côté : c'est à dire, si on a par exemple le plan d'équation z=2, si le pavé est en dessous de ce plan (z<2) regarder si le sommet du cône est dans le même demi-espace ou non. Si le sommet du cône est dans le même demi-espace que le pavé , on a k_i=1, sinon k_i=-1
Etape 3 : conclure :
Le volume totale, c'est la somme des k_i* V_i

L'étape 2a semble la plus difficile, et peut-être aussi la 1.

Application assez amusante : quand le pavé est tout entier dans le cône, on vérifie que cette formule fonctionne, elle donne bien le volume du pavé, avec des détours assez surprenants.

[nyandog]

Interessant, je vais me pencher sur cette méthode.
J'ai l'impression que les deux méthodes vont se rejoindre, j'ai abandonné l'integrale triple pour une intégrale plus simple de la surface d'intersection que l'on peut obtenir en integrant les segments d'intersection.
On peut obtenir les segments d'intersections en posant l'égalité entre les équations des deux surfaces (le cube et le cône).
Merci pour le retour

[lyceen95]

Oui, trouver les surfaces d'intersection reste 'compliqué'. Mais c'est le seul vrai problème. Le passage aux volumes ensuite est de la simple cuisine.

[Ben314]

Salut,
Perso., je suis tout sauf convaincu que ce soit plus simple en passant par les faces du parallélépipède : dans le plan en question, certes le parallélépipède a une trace simple (un rectangle), mais le cône a une trace compliquée (une conique...).
Perso, je procéderais plutôt avec des coupes suivant des plans perpendiculaires à l'axe du cône de façon à ce que la trace du cône soit un cercle et celle du parallélépipède un polygone à au plus 6 cotés.
Si tu part du plan passant par le centre du cône puis que tu t'éloigne petit à petit, tu rencontre dans un certain ordre les 8 sommet de ton parallélépipède et, entre deux rencontre successives, la trace du parallélépipède sur le plan est de "même nature", à savoir un polygone avec toujours le même nombre de sommets qui sont les intersection de certaines arrêtes du parallélépipède avec le plan (donc très facile à calculer). Ensuite, je pense qu'on doit pouvoir trouver une formule pour calculer la surface de l'intersection d'un polygone (convexe) avec un disque.

[caillou1]

Bonjour,

Le pavé est défini par son centre O et les trois dimensions de ses côtés.
Le cône est défini par son sommet P, le vecteur unitaire directeur G de sa hauteur, et le demi angle alpha entre la hauteur et le cône.

Il manque la position relative du cône et du pavé pour préciser le volume en question.
Dans certaines situations, il existe des formules très simples qui donnent le volume d'un tronc de cône.

[nyandog]

Salut,
Perso., je suis tout sauf convaincu que ce soit plus simple en passant par les faces du parallélépipède : dans le plan en question, certes le parallélépipède a une trace simple (un rectangle), mais le cône a une trace compliquée (une conique...).
Perso, je procéderais plutôt avec des coupes suivant des plans perpendiculaires à l'axe du cône de façon à ce que la trace du cône soit un cercle et celle du parallélépipède un polygone à au plus 6 cotés.
Si tu part du plan passant par le centre du cône puis que tu t'éloigne petit à petit, tu rencontre dans un certain ordre les 8 sommet de ton parallélépipède et, entre deux rencontre successives, la trace du parallélépipède sur le plan est de "même nature", à savoir un polygone avec toujours le même nombre de sommets qui sont les intersection de certaines arrêtes du parallélépipède avec le plan (donc très facile à calculer). Ensuite, je pense qu'on doit pouvoir trouver une formule pour calculer la surface de l'intersection d'un polygone (convexe) avec un disque.

Merci pour la réponse,
Il me semble que cette méthode soit la plus simple à utiliser, notamment dans le cadre d'un calcul numérique.
On peut calculer la surface d'intersection en séparant de le calcule en deux, la somme de la surface d'un segment circulaire créé par le disque, avec la surface d'un polygone irrégulier.
On peut calculer les points d'intersections à partir du vecteur normal et d'un point du plan et les coordonnées de deux des points d'une arrête.

Au final il ne reste qu'à faire une somme numérique des différentes aires selon l'axe du cône multiplié par un pas infinitésimale ( qui donne la précision de l'approximation).

[Ben314]

Avec du calcul numérique, c'est à peu prés sûr que ça va marcher, mais je me demande même s'il n'y aurait pas une formule théorique (je vais regarder) :
Si le plan (variable) est donné par t -> P(t) alors les coeff. de l'équation de P sont de simples fonctions affines de t et les coordonnées des intersection de P(t) avec les arrêtes du pavé sont aussi des fonctions affines de t.
Donc s'il y a une formule pas trop pourrie pour calculer la surface de l'intersection d'un disque et d'un polygone convexe, il y a peut-être moyen de calculer l'intégrale de cette surface sur un intervalle donné.