Groupe et espace vectoriel

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Françoisdesantilles
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Groupe et espace vectoriel

par Françoisdesantilles » 01 Juin 2023, 21:52

Bonsoir, j'envoi ce message car je voudrai mieux comprendre les notions de groupes et d'espace vectoriel
Dans ce cours notament.

J'ai fais quelque recherche personnel, et j'ai trouvé qu'un espace vectoriel, c'est un ensemble qui contient des vecteur, et un ensemble muni d'une structure permettant de faire des combinaisons linéaires.

Concernant les groupes, j'ai compris qu'un groupe c'est un couple (E, .) dont le 1er terme est un ensemble et le
second terme, une opération (+ ou .
, addition ou mutliplication).
L'opération en question dépend de l'ensemble de départ, par exemple (N, .) ou (R*, .) sont des groupes.
Quelqu'un a de meilleurs définitions? ou de meilleurs exemples svp?

Voici le cours que j'essai de mieux comprendre :

Définition 1.1. Un ensemble E muni de deux lois:
• l’addition : si u, v sont dans E, alors u + v est dans E ;
• la multiplication par un scalaire : si u est dans E, a dans K, au est dans E.
est un K-espace vectoriel quand :

• (E, +) est un groupe;
• on a les distributivités a(u + v) = au + av et (a + b)u = au + bu pour tous vecteurs
u, v ∈ E et tous scalaires a, b ∈ K
• on a l’associativité (ab)u = a(bu) = abu pour tout vecteur u ∈ E et tous scalaires
a, b ∈ K;
• l’élement neutre 1 du corps K (pour sa multiplication interne) est neutre pour la multiplication externe.
Les ´el´ements de E sont les vecteurs, ceux de K les scalaires.



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Ben314
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Re: Groupe et espace vectoriel

par Ben314 » 01 Juin 2023, 22:19

Salut,
Non, (N,.), c'est pas un groupe.
Et la loi d'un groupe, c'est pas forcément l'addition ou la multiplication, ça peut être n'importe quoi, pourvu que ça vérifie les axiomes de groupe.
Par exemple la composition sur un ensemble de fonctions bijectives et stable par composition.
Ou bien la différence symétrique sur l'ensemble des parties d'un ensemble donné.

(G,#), est un groupe lorsque :
1) G est un ensemble,
2) # est une "loi" sur G, c'est à dire une application qui, à deux éléments quelconque x et y de G, en associe un troisième noté x#y
3) Les "axiomes" suivants sont vérifiés :
3.1) La loi # est associative : pour tout x,y,z de G, on a x#(y#z) = (x#y)#z
3.2) La loi # admet un neutre e (élément de G) : pour tout x de G, on a e#x = x#e =x
3.3) Tout x de G admet un symétrique : pour tout x de G, il existe un y de G tel que x#y = y#x = e

Exemple de groupe :
- L'ensemble des translations du plan, muni de la loi de composition.
- L'ensemble des réels différents de -1 muni de la loi x # y = xy+x+y
- L'ensemble {0,1,2,3,4,5} muni de la loi x # y = (le reste de la division de x+y par 6)
- L'ensemble {1,2,3,4,5,6} muni de la loi x # y = (le reste de la division de xy par 7)

Sinon, concernant le fait que "un espace vectoriel, c'est un ensemble qui contient des vecteur", c'est pas que ce soit faux, mais vu la façon dont tu l'écrit, ça donne l'impression que le terme "vecteur" à un sens propre alors qu'un "vecteur" en math., ben c'est un élément d'un espace vectoriel. Et on utilise ce vocable du fait que, quand on écrit des trucs concernant les espaces vectoriels, une partie des variables qu'on utilise sont des élément du corps de base et une partie sont des éléments de l'espace vectoriel. Et pour faire la différence (en Français), on dit que les premiers sont "des scalaires" et les second "des vecteurs".
Et il arrive aussi (surtout dans les petites classes) qu'on mette des flèches au dessus des vecteurs pour les différencier des scalaires.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Françoisdesantilles
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Re: Groupe et espace vectoriel

par Françoisdesantilles » 02 Juin 2023, 22:57

Ben314 a écrit:Salut,
Non, (N,.), c'est pas un groupe.
Et la loi d'un groupe, c'est pas forcément l'addition ou la multiplication, ça peut être n'importe quoi, pourvu que ça vérifie les axiomes de groupe.
Par exemple la composition sur un ensemble de fonctions bijectives et stable par composition.
Ou bien la différence symétrique sur l'ensemble des parties d'un ensemble donné.

(G,#), est un groupe lorsque :
1) G est un ensemble,
2) # est une "loi" sur G, c'est à dire une application qui, à deux éléments quelconque x et y de G, en associe un troisième noté x#y
3) Les "axiomes" suivants sont vérifiés :
3.1) La loi # est associative : pour tout x,y,z de G, on a x#(y#z) = (x#y)#z
3.2) La loi # admet un neutre e (élément de G) : pour tout x de G, on a e#x = x#e =x
3.3) Tout x de G admet un symétrique : pour tout x de G, il existe un y de G tel que x#y = y#x = e

Exemple de groupe :
- L'ensemble des translations du plan, muni de la loi de composition.
- L'ensemble des réels différents de -1 muni de la loi x # y = xy+x+y
- L'ensemble {0,1,2,3,4,5} muni de la loi x # y = (le reste de la division de x+y par 6)
- L'ensemble {1,2,3,4,5,6} muni de la loi x # y = (le reste de la division de xy par 7)

Sinon, concernant le fait que "un espace vectoriel, c'est un ensemble qui contient des vecteur", c'est pas que ce soit faux, mais vu la façon dont tu l'écrit, ça donne l'impression que le terme "vecteur" à un sens propre alors qu'un "vecteur" en math., ben c'est un élément d'un espace vectoriel. Et on utilise ce vocable du fait que, quand on écrit des trucs concernant les espaces vectoriels, une partie des variables qu'on utilise sont des élément du corps de base et une partie sont des éléments de l'espace vectoriel. Et pour faire la différence (en Français), on dit que les premiers sont "des scalaires" et les second "des vecteurs".
Et il arrive aussi (surtout dans les petites classes) qu'on mette des flèches au dessus des vecteurs pour les différencier des scalaires.

Salut Ben, merci pour ta réponse détaillée, j'ai posé ces questions car les espaces vectoriels c'est une notions très importante en maths

lyceen95
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Re: Groupe et espace vectoriel

par lyceen95 » 03 Juin 2023, 02:33

Tu voulais des exemples de groupes 'ultra-connus'.
Suite à la correction de Ben314, sais-tu en donner un ultra-connu , autre que ?

 

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