Etude d'un extremum

[Kruslen]

Bonjour à tous,

Je voudrais solliciter les lecteurs de ce forum concernant l'étude de la fonction à deux variables :


Je cherche les extrema de cette fonction. Il n'y a qu'un seul point critique, à savoir (0,0), et le
tracé de la surface représentative de la fonction fait penser qu'il y a un minimum global en ce point.

Mais je n'arrive pas à minorer par 0 la quantité f(x,y)-f(0,0). Cela revient à essayer de minorer par 0 :

lorsque X>0 et Y>0.

Est-ce que quelqu'un aurait une idée ?

Merci par avance pour votre réponse,

Kruslen

[Ben314]

Salut,
Vu la tête de la fonction, on peut tout à fait s'en sortir par "variable séparées" :
Pour fixé, vu sa dérivée (en ), la fonction est décroissante puis croissante avec un minimum en .
Ensuite, l'étude des variation de la fonction ne pose aucun problème non plus.

Après, si tu tient absolument à montrer que est positif (pour ) par du "pur algébrique", tu peut poser et qui vérifient donc puis

avec égalité ssi (c.à.d. ) et donc ssi .

Mais perso., ça me semble bien plus simple et plus naturel de faire une bête étude de fonction niveau Lycée...

[tournesol]

Joli Ben314 pour X+Y+1/(XY)-3

[Kruslen]

Merci Ben314 !
La solution par le calcul est tout à fait abordable et j'aurais dû y penser,
mais l'autre solution avec s et p me plait bien...
Kruslen