je n'arrive pas à terminer l'exercice suivant (et pour q2 je trouve deux réponses différentes
!)Enoncé: (X_n)n>=1 suite de VAIID , suivant la loi géométrique de paramètre p
on fixe m dans N* et on pose Y=max(X1,...,Xm) et T=inf(n dans N*, Xm+n>=Y)
1) loi de Y
2) trouver P(T>n)
3) N est-elle d'espérance finie?
mes réponses
je pose q=1-p
1) classique, en commençant par calculer P(Y<=k).
On trouve P(Y=k)=(1-q^k)^m - (1-q^(k-1))^m
2) j'ai deux idées:
idée 1
P(T>n)=P(Xm+1<Y,...,Xm+n<Y) ce qui par indépendance donne le produit de n facteurs.
Chaque facteur du produit vaut P(X<Y) où X est une géo de param p indt de Y.
or P(X<Y)= somme des P(X<k,Y=k) = somme des P(X<k)P(Y=k)=somme des [1-q^(k-1))][(1-q^k)^m - (1-q^(k-1))^m].
Ces sommes sont pour k=1 à +inf, et si je note um cette somme, P(T>n)=u_m^n
commentaires: je me demande si je peux manipuler aussi facilement des évènements du type (Xm+1<Y,...,Xm+n<Y) mais je pense que oui, par des union et des intersections on se ramène à des evenements classiques X<u , Y=v etc...
idée 2!
la loi conditionnelle de T sachant Y=k est un temps d'attente du premier succès où le succès est d'obtenir X>=k, ce qui a pour probabilité a=P(X>=k)=q^(k-1).
Donc P(T>n|Y=k)=(1-a)^n=(1-q^(k-1))^n
alors par probas totales P(T>n)= somme des P(Y=k).P(T>n|Y=k)=
somme des [1-q^(k-1))]^n . [(1-q^k)^m - (1-q^(k-1))^m].
commentaire: la puissance n'est donc pas au même endroit que dans idée 1! elle ne porte que sur [1-q^(k-1))] alors que dans idée 1 elle porte sur toute la somme.
je trouve toujours "dangereux" l'utilisation des probas conditionnelles, pour autant ça me semble juste.
d'où mes questions:
1) où est l'erreur? idée1? idée 2?
2) pour la dernière question, dans l'idée 1 il s'agirait ensuite de voir si um<1 pour savoir si la série P(T>n) cv ce qui caractérise l'esp finie.
idem dans idée 2 probablement un travail de minoration/majoration
Merci si vous pouvez m'aider!
je crois identifier une situation de type "record" mais je ne trouve pas tant de références que ça à ce sujet.
