Applications lineaire Sup

[jojo3367]

Soit E un K-espace vectoriel et u un endomorphisme de E tel que pour tout x ∈ E, la famille {x, u(x)} est liée.
Montrer que l'application u est une homothétie.
Voici la question sur laquelle je gruge. Je pensais d'abord que c'etait trivial mais je n'avais pas vu que u dependait de x, j'espere que quelqu'un pour laquelle cette question l'est vraiment pourra me repondre.
Merci d'avance

[Ben314]

Salut,

Voici la question sur laquelle je gruge.

???????
GRUGER <= lien vers la définition
Sinon, ben non, l'endomorphisme ne dépend absolument pas de .
Par contre le vecteur , lui, dépend du vecteur et, à priori, le coefficient de proportionnalité entre et aussi.

Et concernant ton problème, si tu prend deux vecteurs non colinéaires et , ton hypothèse te dit qu'il existe des scalaires tels que et .
Que peut-tu en déduire ?

[jojo3367]

Ah mais oui bien sûr, on a donc, de par la linearité de u, u(x+y) = u(x)+ u (y) et donc c(x+y) = ax+by donc c=a=b et donc u(x)=cx avec c cst et donc u est une homotétie.
Merci, un peu honte de ne pas y avoir pensé
bonne soirée