Complexe, racine polynômes

[Françoisdesantilles]

Bonjour à tous , j'envoi ce message pour savoir si quelqu'un pouvais corrigé cet exercice (exercice 1)svp?

https://zupimages.net/viewer.php?id=23/19/dlho.jpeg

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Propose ta solution !

[Françoisdesantilles]

Bonjour,
Propose ta solution !

Bonjour désolé en général je poste ma solution mais je révise pour des exam
voici toutefois des éléments de réponse(j'ai essayé )

https://zupimages.net/viewer.php?id=23/19/t2gz.jpeg

[PythagoreSauvage]

Je n'ai pas compris ce que tu as voulu écrire

En fait quand on te demande de montrer que les conditions sont équivalentes, on te demande de montrer, si on note par exemple (A) et (B) chacune de ces propositions :

(A) P(a) = 0 càd a est racine de P
(B) (X-a) divise P

que (A) implique (B) et (B) implique (A)

Ok, faisons (A) implique (B) :

Soit racine de c'est à dire
On a

est un polynôme. Appelons son degré. Il s'écrit et donc :

. Si tu connais ta formule de factorisation, tu sais que (ou plus simplement tu sais que divise , peu importe comment il s'écrit formellement) et alors :

c'est à dire divise

Faisons (B) implique (A) c'est beaucoup plus simple :

Si divise alors s'écrit où est un polynôme. En appliquant en il vient que donc est racine de

[PythagoreSauvage]

Faisons la même chose pour les conditions suivantes :

(A) Pour tout pour tout et

(B) divise mais ne divise pas

Faisons (B) implique (A) :

Soit divisant . Alors s'écrit où est un polynôme non divisible par . Dérive une fois le polynôme et tu auras . En cela vaut donc .

En réalité, si tu dérives fois ce polynôme tu auras dans chacun de tes termes un facteur , ce qui annule , et ce jusqu'à ce que . Si maintenant c'est à dire si tu dérives fois ce polynôme, tu vas te retrouver avec uniquement des termes de la forme sauf un seul ! (fais le calcul), le terme qui était de la forme dans .

Il se trouve que (là encore, faire le calcul) vaut donc et comme car ne divise pas par hypothèse,

Là j'ai dégrossi pour donner l'idée, en toute logique il faut démontrer formellement avec une récurrence

[PythagoreSauvage]

On montre (B) implique (A) par récurrence sur

INITIALISATION :

Quand : on suppose que divise mais que ne divise pas donc s'écrit nécessairement avec qui ne divise pas .

Alors donc car n'est pas racine de

donc mais (la dérivée ième d'une fonction c'est... la fonction elle-même) car racine de

HÉRÉDITÉ :

On suppose que l'implication est vraie pour un certain . Montrons qu'alors l'implication reste vraie pour c'est à dire montrons que si divise mais ne divise pas alors pour tout et

Soit donc qui divise mais qui ne divise pas . Alors s'écrit nécessairement où est un polynôme qui n'est pas divisible par

Alors

divise mais pas . Par hypothèse de récurrence, et . De plus . Le résultat est démontré au rang

[Ben314]

Salut,
Perso, j'aurais franchement pas procédé comme ça...
Un polynôme, c'est un truc de la forme et, dès qu'on voit la notion de dérivation formelle des polynômes, c'est pas idiot de constater que ; ; ; ; ; ... ; et d'en déduire que, si est de caractéristique nulle, pour tout on a :

qui se démontre simplement en appliquant les relations précédentes (qui, elles, sont triviales) au polynôme et qui, comme par hasard, ressemble étrangement à la formule des développement limités sauf que là, c'est une vrai égalité.
Et cette formule te dit par exemple que le reste de la division euclidienne de par , ben c'est donc c'est zéro ssi .

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Salut Ben314, de retour après une longue absence !
Je trouve que la récurrence est tout à fait adaptée ici.
Il suffit en fait de montrer que équivaut à , par récurrence sur .
L'initialisation est conséquence immédiate de la division euclidienne par .
Supposons le résultat vrai pour .
Si est divisible par , alors et comme est divisible par on a par hypothèse de récurrence .
Si alors par hypothèse de récurrence il existe un polynôme tel que et est aussi divisible par . Ceci entraîne que est divisible par (on utilise ici ).