F(cn+1/n)=f(cn)

[titov]

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre la question suivante :

Soit f continue telle que f(0)=f(1).
Montrer que pour tout n entier naturel il existe \(c_n\) tel que f(\(c_n\)+1/n)=f(\(c_n\))

[lyceen95]

Dans un exercice où on demande de montrer que ..., on passe en général par différentes phases.
- phase 1 : c'est du chinois.
- phase 2 : on fait un dessin, on gribouille des trucs
- phase 3 : on se dit : ok, effectivement, cette propriété à l'air vraie, mais je ne sais toujours pas la démontrer.
- phase 4 : on trouve un plan qui devrait marcher
- phase 5 : on trouve une démonstration

Tu en es à quelle phase ? En particulier, est ce que tu as fait différents dessins ?

[tournesol]

Bonsoir
C'est du TVI téléphoné
Attention: n est supérieur ou égal à 1
On pose
Considérer

[titov]

Bonsoir
C'est du TVI téléphoné
Attention: n est supérieur ou égal à 1
On pose
Considérer

Merci pour cette aide, j'avais en effet pensé à poser g mais pas à cette somme télescopique. Cependant, je ne vois pas pourquoi le fait que la somme des g(k/n)=0 implique qu'il existe un x tel que g(x)=0

[titov]

Dans un exercice où on demande de montrer que ..., on passe en général par différentes phases.
- phase 1 : c'est du chinois.
- phase 2 : on fait un dessin, on gribouille des trucs
- phase 3 : on se dit : ok, effectivement, cette propriété à l'air vraie, mais je ne sais toujours pas la démontrer.
- phase 4 : on trouve un plan qui devrait marcher
- phase 5 : on trouve une démonstration

Tu en es à quelle phase ? En particulier, est ce que tu as fait différents dessins ?

J'en suis à la phase 4. En effet sur un dessin ça paraît relativement évident mais la démonstration m'échappe encore

[lyceen95]

Prenons la piste de Tournesol.
Cette somme vaut 0.
Soit tous les termes sont nuls, et on peut rapidement conclure.
Soit il y a au moins un terme nul, et on peut rapidement conclure.
Soit les termes sont tous non nuls, il y a donc au moins un terme strictement positif, et au moins 1 strictement négatif. Et il y a nécessairement 2 termes consécutifs de cette somme, qui sont de signes différents. Et notre TVI permet de conclure.

[titov]

Merci beaucoup pour cette explication !