Polynôme irréductible

[joq35]

Bonjour

On me demande de décomposer le polynôme 6x^4 -12x^2-18 en produit de facteurs irréductible sur C, R, Q et Z. On peut déjà le factoriser par 6.
Mais après, comment feriez -vous ? Y a t- il une méthode à appliquer ? J’aurais envie de trouver 2 polynômes P et Q de degré 2 égal à notre polynôme, et trouver les coefficients par identification mais c’est un peu long. Y a t il une méthode plus directe ?

Merci à vous et bon we

[Pisigma]

Bonjour,
après avoir divisé par 6, pense aux identités remarquables!

[Rdvn]

Bonjour

On peut aussi poser T=X^2

Ainsi
P(X)=6( T^2 - 2T -3 )

Puis ...
A vous

[joq35]

Ok merci je vais m’en sortir et c’est bien plus rapide. Bon we.

[Rdvn]

N’hésitez pas à poser une question en cas de doute
Bon we

[Pisigma]

je précise un peu, si nécessaire!

[joq35]

Merci à vous deux pour votre aide.

Au final, j’ai fait vos 2 méthodes et le résultat est quasi immédiat dans les 2 cas :
Dans C, la décomposition est : 6(x + sqrt(3)) (x - sqrt(3)) (x+i) (x-i)
Pour avoir la décomposition dans R , on regroupe les termes conjugués. Et on regroupe également pour avoir la décomposition dans Q. Pour Z, il suffit d’écrire 6 = 3.2 et c’est gagné.

Merci en tout cas pour votre aide et bon we,
François