Intégrales

[jenifferrr]

Bonjour, pouvez-vous m’aider s’il vous plaît ? J’ai vraiment du mal avec cet exercice ! Soit (In) la suite définie sur N* par: int(1/x dx) sur [n;n+1]
1. Donner un encadrement de 1 /x sur [n; n + 1]
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul,
1/(n+1) =< In=< 1/n
3. En déduire la limite de la suite (In)
4. Retrouver le résultat précédent en calculant l-
J’ai notamment du mal avec la première question pour donner l’encadrement. Je pense que un divisé par X est compris entre zéro et un cependant cela est incompatible avec la question suivante, puisque cela donnerait zéro du côté gauche de l’inégalité, sinon j’aurais dit que un sur X est compris entre 1 /
(N+1) et 1/n ce qui m’empêcherait de faire la question d’après merci beaucoup pour votre aide. De plus je le comprends pas la question quatre que veut dire en calculant In ? Merci !

[felzz]

ReSalut ! Je vais essayer au mieux, car c'est un chapitre que j'ai très vite vu en cours. Certaines de mes explications peuvent être fausses, alors ne t'appuies pas que là-dessus, attends une réponse d'un autre ou celle de ton professeur.
Je vais essayer de répondre à chaque question avec toi, en espérant que cela t'aide.

1. Pour donner un encadrement de 1/x sur [n;n+1], il faut noter que x est compris entre n et n+1. Donc, on peut écrire :

Code: Tout sélectionner

1/(n+1) ≤ 1/x ≤ 1/n

En effet, si x est plus grand que n+1, alors 1/x est plus petit que 1/(n+1). Et si x est plus petit que n, alors 1/x est plus grand que 1/n.

2. Maintenant, pour démontrer que 1/(n+1) ≤ In ≤ 1/n, il suffit d'intégrer l'encadrement précédent sur [n;n+1]. On obtient :

Code: Tout sélectionner

∫[n;n+1] 1/(n+1) dx ≤ ∫[n;n+1] 1/x dx ≤ ∫[n;n+1] 1/n dx

Soit :

Code: Tout sélectionner

1/(n+1) ≤ In ≤ 1/n

3. Comme In est compris entre deux suites qui ont la même limite (0 lorsque n tend vers l'infini), alors In doit aussi avoir cette limite. De ce fait, la limite de la suite In est 0.

4. On te demande ici de retrouver le résultat précédent en calculant l'inverse de la limite de la suite In. En effet, si la limite de In est 0, alors l'inverse de cette limite est infini. Or, on a vu que In était encadrée entre 1/(n+1) et 1/n, donc si l'inverse de la limite de In est infini, alors la limite de In doit être 0.