Bonjour à tous,
J'espère que je vais réussir à être clair, ma question est un peu confuse... J'ai le sentiment que "démontrer par récurrence" et "construire par récurrence", ce n'est pas tout à fait la même chose (c'est en travaillant la preuve de Bolzano Weierstrass que m'est venu cette interrogation). Je m'explique:
Supposons que l'on souhaite démontrer par récurrence qu'une suite est croissante.
Pour cela, il faut d'abord montrer que (initialisation) puis enchaîner sur l'hérédité.
Supposons à présent que l'on souhaite construire par récurrence une suite croissante (comme dans la preuve de Bolzano Weierstrass où l'on construit une application strictement croissante de dans ).
Pour ce faire, je vois le genre de choses suivantes: posons et supposons que l'on ait construit les n premiers termes tels que . Construisons alors de sorte que .
Voila, ce qui me gêne, c'est que dans cette construction, on a pas vraiment initialisé. N'aurait-il pas fallu construire et prouver que avant de passer à l'hérédité ?
J'espère avoir su me faire comprendre ! Merci pour vos éclaircissements