Existence d'une fonction
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Capss
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par Capss » 30 Déc 2006, 14:53
Halo tout le monde!
Je coince sur une question d'un DM. C'est le suivant (je résume):
On a une région notée R de forme triangulaire et trois villes V1, V2 et V3 qui sont situées sur les sommets de coordonnées (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3).
On a un répère identifié à R² et on considère T0, un triangle de référence O(0,0) I(1,0) J(0,1) et le but c'est de trouver une formule de changement de repère permettant de ramener la région R au triangle T0. Les variables parcourant T0 sont notées (u,v).
Connaissant les coord de chaque ville(xi,yi), il faut donc trouver l'expression d'un difféomorphisme f: R²->R² envoyant To sur R.
Voici la question sur laquelle je bloque:
1* Justifier sans calcul, l'existence et l'unicité d'une fonction f:R²->R² dont les composantes sont des fonctions polynômes du 1er degrè en x et y t.q. f(O)=V1, f(I)=V2 et f(J)=V3.
2* Montrer qu'elle est bijective
J'ai pensé à dire que tout point par f donne une nouvelle direction. 3 points par f donne alors 3 points de l'espace et si ces points ne sont pas alignés, alors passe un unique plan. Mais ce raisonnement n'est pas correct car ici c'est pas f: R²->R mais R²->R² :hein:
Ensuite pour la bijectivité je ne vois pas :triste:
Merci d'avance à celui qui pourra m'aider :happy2:
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mathelot
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par mathelot » 30 Déc 2006, 15:52
l'existence et l'unicité de la fonction cherchée de
dans
sont données par la géométrie affine.
et
sont deux repères affines du plan et il existe donc une unique application affine bijective
de
dans
qui envoie un repère sur l'autre. Les applications coordonnées
et
sont des application affines de
dans
soit de la forme:
La bijection réciproque de f, notée g, de
dans
envoie le deuxième repère sur le premier.
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mathelot
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par mathelot » 30 Déc 2006, 16:12
la deuxième coordonnées de f est de la forme:
l'application linéaire
associée à l'application affine
envoie la base
sur la base
,
est bijective car
est bijective.
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Capss
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par Capss » 30 Déc 2006, 22:53
merci de ta réponse mathelot! Vais essayer de comprendre tout ça :we:
Bonne année.
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Capss
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par Capss » 31 Déc 2006, 00:59
Ensuite dans la suite de l'énoncé, on définie une fonction comme tu as défini.
Fi : R²-> R²
les cstes sont des réels
et on demande de montrer que pour G=bar(M1(x1,y1)/
......Mn(xn,yn)/
) avec M1(x1,y1)....Mn(xn,yn) n points du plan et
, Fi(G)=bar [phi(M1)/
......phi(Mn)/
] ça c'est bon. Puis vient la question en déduire que f (la fonction de la première question) transforme l'intérieur de T0 en l'intérieur de R et l'extérieur de T0 en l'extérieur de R. Déterminer f en fonction de (xi,yi) des points Vi (i appartenant à 1...3)
Je vois pas trop le lien avec la question sur le barycentre :hein:
Merci d'avance de vos lumières :marteau:
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mathelot
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par mathelot » 31 Déc 2006, 16:35
je crois me rappeler que si
est un triangle non aplati, son intérieur coïncide avec l'ensemble des points dont les coordonées barycentriques
normalisées (de somme égales à 1) sont toutes les trois strictement positives.
étant une application affine, elle conserve le barycentre, i.e, si M est barycentre de
, alors
est barycentre
de
affectés des mêmes coefficients. Donc
envoie l'intérieur de
sur l'intérieur de
, bijectivement en plus.
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par Capss » 02 Jan 2007, 00:15
Hello merci de la réponse
Sinon pour en revenir au premier post, comment je pourrais mq pour 2 repères affines, il existe une unique ap affine bijective de R² dans R² envoyant un repère sur l'autre? J'ai regardé dans des cours sur ce chapitre et j'ai pas trouvé cette proposition.
merci
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par mathelot » 02 Jan 2007, 12:26
Deux repères affines ont le même nombre de points. Si
et
sont deux tels repères, si f envoie les points
sur les points
pour
, ta question est équivalente à montrer qu'il existe une unique application linéaire bijective
qui envoie
sur
ce qui est le cas, car ces deux familles de vecteurs sont des bases.
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Capss
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par Capss » 02 Jan 2007, 14:26
merci bien :happy2:
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par mathelot » 02 Jan 2007, 18:58
c'est le caractère affine de l'application
qui permet de passer des points et d'un barycentre de ces points à une application linéaire
et une combinaison linéaire de vecteurs ... et réciproquement.
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