Projection d'un vecteur dans un autre référentiel

[zilionaya]

Bonjour !
J'ai un problème mathématique, pas si sorcier je pense, seulement la terminale S est en réalité bien loin pour moi (d'ailleurs je ne suis pas sûr de quel est le niveau de ma question, c'est potentiellement trivial pour quelqu'un en terminale S !)

Je vous explique, et un schéma illustre la situation ici :

J'ai un vecteur, défini de la façon suivante, par rapport à l'axe x, y standard (en noir sur le graphe) :
u = 1.12
v = -1.53

Je souhaite exprimer ce vecteur dans un autre référentiel, défini par le segment vert, dont je connais les coordonnées. Le nouveau référentiel est illustré en rouge.

Comment exprimer mon vecteur (u,v) dans ce nouveau référentiel (xp,yp) - je noterai alors mon vecteur (up,vp).

D'après un cours trouvé sur internet, j'ai procédé de la façon suivante :

up = cos(theta)*u + sin(theta)*v
vp = -sin(theta)*u + cos(theta)*v
où theta = tan-1(53/85)

Mais je ne suis pas sûr de moi, pouvez-vous me confirmer ou corriger/expliquer ?
Merci d'avance !

[zilionaya]

L'image n'est pas passée dans le message précédent :

[Pisigma]

Bonjour,

est-ce que tu veux une formule avec fixe ou variable.

Dans le 1er cas tu dois donner les coordonnées de

[zilionaya]

Bonjour !
Je dois effectuer ce calcul en un grand nombre de points le long du segment vert (et sur plusieurs segments) donc l'origine (si Op est bien l'origine) va changer. Je peux m'arranger pour recalculer Op à chaque fois je pense mais c'est peut-être un peu fastidieux donc s'il y a une façon de généraliser ça peut être pratique !

[Pisigma]

Soient

dans le système

dans le système

dans le système

l'angle que fait avec l'horizontale passant par

connaissant les coordonnées de on a dans le système

[zilionaya]

Bonjour,
Merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre !
Pouvez-vous me confirmer si j'ai bien interprété les notations, complétées sur le schéma ci-dessous ?

[Pisigma]

Oui c'est correct