Extrema globaux sous contrainte

[SamAz]

Bonjour,
Je me bloque sur une question sur les extrema globaux d'une fonction avec contrainte.
La methode que je connais ne marche pas, il me semble.
J'ai a determiner les extrema globaux de f(x,y,z)=2x^2+y^2+3z^2 sur l'ensemble C des (x,y,z) de R3 defini par (1/4)x^2+y^2+(1/16)z^2=1
En general ce que je fait c'est de resoudre le systeme:
Df(x,y,z)=C.Dg(x,y,z), g etant la fonction qui definit C. (donc la contrainte)
ici j'obtiens:
4x=1/2 Cx
2y=2C
6z=1/8 Cz
et bien sur l'equation de C
le pt(0,0,0) n'appartenant pas a C, si je simplifie les x, y, z, ca bloque. comment continuer? en general je trouve mes valeurs de C et en suite les extrema

[tournesol]

Tu transforme la deuxième en 4x^2+16y^2+z^2=16
Tu en déduis que 3z^2=-12x^2-48y^2+48 , et tu reportes dans f(x,y,z) qui ne dépend plus que de x et y .
Tu cherches alors ses extrémas sans contraintes.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Tu n'étais pas trop mal parti, mais tu avais tout de même oublié un dans ta deuxième équation..
Tu as donc à exprimer que les gradients de et sont colinéaires, autrement dit que les déterminants extraits de la matrice sont tous nuls. Et puis tu n'oublies pas que .
Tu trouves alors facilement les points critiques de sur cet ellipsoïde, et de là tu obtiens tout aussi facilement le maximum et le minimum de sur l'ellipsoïde.