Theorie de la mesure

[SamAz]

Bonjour, j'aimerais poser une question qui me semble un peu ambigue.
D'apres mon cours, la definition d'une mesure sur un espace mesurable donné est toute application M a valeurs positives qui verifie:
M(vide)=0
M est denombrablement additive pour des parties 2 a 2 disjointes.
En TD, parfois lorsqu'on se donne une application et on a a montrer que c'est une mesure, le prof procede a montrer que M(vide)=0,
que M est croissante
et qu'elle est additive. pourquois montrer la croissance?

[tournesol]

De mémoire sans maitriser le sujet:
L'additivité n'implique pas l'additivité dénombrable.
Mais additivité et croissance entraine additivité dénombrable. sous réserve...

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Que veut dire précisément "M est croissante" ?
Si c'est juste , c'est une conséquence de l'additivité et ça ne suffit évidemment pas pour faire une mesure.
N'est-ce pas plutôt "Si est une suite croissante d'ensembles mesurables, alors " ? Avec l'additivité, ça remplace la -additivité.

[tournesol]

Merci à toi GaBuZoMeu.
Il est en effet immédiat que la croissance n'est qu'une conséquence de l'additivité.

[SamAz]

Merci pour votre aide. Ma question est, si on me donne une application et je dois demontrer que c'est une mesure, je demontre que l'image du vide est nulle, et qu'elle est denombrablement additive. c'est suffisant ?

[tournesol]

Je pense que est une conséquence de l'additivité :
vide U vide=vide donc m(vide)+m(vide)=m(vide) et donc m(vide)=0

[GaBuZoMeu]

Pas si la mesure est pour toute partie mesurable.

[tournesol]

Soit E un ensemble , T une famille de parties de E stable par union finie et (A ,) un magma associatif .
On appelle A-pseudo mesure sur T toute application additive de T dans A .
Pourquoi pas (A ,)= ?

[GaBuZoMeu]

Pas besoin d'inventer des trucs exotiques. Reporte-toi à la définition officielle de mesure : https://fr.wikipedia.org/wiki/Mesure_(math%C3%A9matiques). Si on ne garde que la -additivité et qu'on enlève , rien n'empêche que tout le monde, y compris , soit de mesure .

[tournesol]

Merci à toi.
En effet dans le cadre de la définition officielle , m(vide)=0 n'est pas une conséquence de l'additivité puisqu'on peut créer un modèle dans lequel m est additive sans que m(vide) soit nul.
L'additivité a donc seulement pour conséquence que
m(vide)=0 ssi m(vide) appartient à R