[Exercice 2] Espace métrique séparable

[Brennos]

Bonjour,
pour rappel :
Etant en autoformation complète, je recherche des âmes charitables qui puisse corriger quelques exercices issus d'ouvrages de troisième cycle sur les méthodes/outils de modélisation financière à destination d'économistes.


j'ai la définition:
Un espace topologique E est dit séparable s'il possède un sous-ensemble dénombrable dense dans E.

J'utilise la définition :
Soit (E,d) un espace métrique et A ⊂ E. On dit que A est dense dans E si A vérifie la condition suivante :
Tout élément de E est limite d'une suite d'éléments de A

Dans l'exercice :
C est séparable si quelque soit g ∈ C, je peux trouver un sous-ensemble dénombrable {fn} n ∈ ℕ tel que d(fn,g) = 0 quand n tend vers l'infini.
En prenant par exemple fn(x) = x/n + g(x) avec n ∈ ℕ*, j'obtiens bien d(fn,g)=0 quand n tend vers l'infini. (je galère avec l'éditeur d'équation )

Le raisonnement est-il juste ?

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Non le raisonnement n'est pas juste. Tu te trompes dans l'ordre des quantifications : ce n'est pas "pour tout élément de C il existe un ensemble dénombrable" mais "il existe un ensemble dénombrable tel que pour tout élément de C". Ça fait une sacrée différence.
Tu dois trouver un ensemble dénombrable A dans C([0,1]) tel que tout élément de C([0,1]) puisse être approché d'aussi près qu'on veut par des éléments de A.

[Brennos]

Ca semblait en effet un peu trop simple.
J'ai lu que l'ensemble des polynômes était dense dans l'ensemble des fonctions continues donc j'imagine qu'il faut ici montrer que tout élément de C([0,1]) peut-être approché par une suite de polynômes. Je crois que ça dépasse un peu mes compétences...
Merci en tout cas pour l'indication.

[GaBuZoMeu]

Il n'y a pas que les polynômes qui puissent faire l'affaire, et d'ailleurs les polynômes à coefficients réels ne forment pas un ensemble dénombrable. Il faudrait par exemple se limiter aux coefficients rationnels.
On peut aussi essayer d'approcher une fonction continue sur [0,1] (et donc uniformément continue) par des fonctions affines par morceaux, avec des morceaux à coefficients rationnels.
Ceci étant dit, je suis d'accord que ce n'est pas un exercice facile pour quelqu'un qui n'a pas des solides bases. Et franchement, je ne vois pas trop l'utilité pour la modélisation financière.