Convergence uniforme

[ludovic44]

Bonjour, je rencontre des difficultés à propos de la notion de convergence uniforme d'une suite de fonctions...

Soit donc une suite de fonctions toutes définies sur un intervalle et à valeurs dans .

Je suis à l'aise sur la définition de la convergence uniforme à l'aide des quantificateurs:

On dit que converge uniformément vers une fonction sur I si:



Je vois souvent une autre manière de définir la convergence uniforme, sans quantificateur, qui est:

On dit que converge uniformément vers une fonction sur I si: tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, ce qui ce traduit par:




Je voulais savoir s'il y avait bien équivalence entre les deux définition. Un sens me paraît évident: si , alors .

Mais qu'en est-il pour l'autre implication ?

Merci pour vos éclaircissements

[Mateo_13]

Bonjour Ludovic,

je crois que la vision géométrique de la convergence uniforme devrait t'aider à répondre à ta question :

pour tout epsilon, aussi petit soit-il, il existe un rang assez grand, à partir duquel tous les graphiques des fonctions sont dans une bande de largeur epsilon et de ligne centrale le graphique de la fonction .

Fais un dessin, et l'équivalence des deux définitions de la convergence uniforme devrait te sembler plus claire.

Amicalement,

[ludovic44]

Bonjour, merci pour votre réponse !
La vision géométrique me laisse à penser qu'il y a bien équivalence entre les deux définitions, même si le fait que le sup n'est pas nécessairement atteint me laisse un peu dans le brouillard...

[Mateo_13]

Effectivement,
le sup n'est pas forcément atteint,
tu peux imaginer un graphique d'une fonction comme Arctan,
qui est dans une bande de largeur et qui n'atteint pas sa borne sup ni sa borne inf.