Développement en facteurs premiers d'un très grand nombre

[fonuni]

Bonjour tout le monde!

J'étudie présentement le nombre N=51^122 - 7^235 et je cherche à trouver il y a combien de puissances de 2, de 3, de 5 et de 7 lorsqu'on développe N en facteurs premiers.

Pour l'instant, je sais qu'il y a 0 puissance de 5 puisque j'ai trouvé que N est congrue à 58 (mod 100). Ensuite, j'ai trouvé que 51^122 > 7^235 car 7^235 = 49^122 * 7/49^5.

[lyceen95]

Tu as trouvé que ce nombre est congru à 58 modulo 100. Je n'ai pas vérifié. Si ce calcul est bon, ceci répond à 2 de tes questions.
Et pour les 2 autres questions, il n'y a aucun calcul à faire, la réponse est immédiate.

[catamat]

Bonjour
La congruence est juste :
51² = 1[100]
donc
d'autre part donc et
donc

[fonuni]

Bonjour,

Merci pour vos réponses, mais je ne comprends pas comment le fait de savoir que les deux derniers chiffres sont 58 peuvent m'aider à connaître le nombre de puissances de 2, de 3 et de 7 dans N? Je sais que ma congruence est juste, mais je n'arrive pas à répondre à la question.

[lyceen95]

Le 58 te permet de répondre à la question 'combien de 5', ok; il te permet aussi de répondre à la question 'combien de 2'.
Les 2 autres questions sont beaucoup plus simples. Là, tu as calculé ce 58 qui est un calcul compliqué. Pour les 2 autres questions, il n'y a aucun calcul à faire. Juste une particularité à observer.

Dans l'ordre, du plus simple au plus compliqué, l'exercice pourrait être formulé ainsi
Combien de 7
Combien de 3
Combien de 5
Combien de 2.

[fonuni]

Ok, mais dans le fond je sais qu'il y a un x nombre de puissances de 2, mais comment je fais pour trouver ce x?

[lyceen95]

Commence par les questions que j'ai mis au début. Ce sont les plus simples. Et tu peux aussi réfléchir. Ces exercices sont faits pour ça, pour te faire réfléchir. Pas pour que tu demandes la réponse toute faite.

[tournesol]

p premier.Combien de p dans n?
l'unique k tel que (n congru à 0 modulo p^k)et(n non congru à 0 modulo p^(k+1))
Pour 2 , k est supérieur ou égal à 1 car la différence de deux impairs est paire.
ton nombre est congru à (1)^122-(-1)^235, donc à 2 modulo 4
donc k(2)=1
A toi pour la suite.

[catamat]

Bonjour Tournesol

Es tu sûr qu'un nombre congru à 58 modulo 100 soit divisible par 4 ??

[tournesol]

Merci catamat.
C'est moi qui devrais m'appeler catamat.
J'ai modifié mon message.