Pgcd.

[Lagalère]

Bonjour, cet exercice ci-dessous me pose problème, puisque je trouve une infinité de couples de solutions:

1/ Donner l'ensemble des diviseurs de 85 dans N.
2/ Résoudre dans N le système:{x-y= 84 et PGCD(x,y)= 12.

Or, même en suivant le cheminement, je n'arrive toujours pas à déterminer le nombre exact de couple solutions, pour la 2/.

Toute aide est la bienvenue et je vous remercie de celle que vous voudriez bien m'apporter.

[raito123]

j'ai modifié ce post pour motif une faute grave

[Lagalère]

Je suis, tout à fait d'accord mais, la suite me pose problème puisque je n'arrive pas à trouver le nombre exact de couples (x';y') d'entiers naturels, tels que x'-y'= 7.

[yvelines78]

bonsoir,

pgcd(x;y)=12 signifie que 12 est diviseur de x et de y
x/12=a et y/12=b
x=12a et y=12b
or x-y=84
12a-12b=12(a-b)=84
donc
a-b=84/12=7
si a=8, b=1 , x=12*8=96, y=1*12=12
si a=9, b=2, x=108, y=24
continue

[Lagalère]

pgcd(x;y)=12 signifie que 12 est diviseur de x et de y
x/12=a et y/12=b
x=12a et y=12b
or x-y=84
12a-12b=12(a-b)=84
donc
a-b=84/12=7
si a=8, b=1 , x=12*8=96, y=1*12=12
si a=9, b=2, x=108, y=24
continue

Avec une infinité de solutions...

De même, je vous remercie pour votre aide.

[chuipersonne]

(S): a-b=84 et PGCD(a;b) = 12
d'après l'identité de Bézout, il existe des entiers relatifs u et v tels que
au+bv = 12
(S)⇐⇒ (a-b=84 et au+bv = 12 )
⇐⇒(a = 84+b et (84+b)+bv = 12)
⇐⇒ ('idem' et b+bv=-72)
⇐⇒('idem' et b(1+v)=-72
On pose k = 1+v, k relatif
(S)⇐⇒(a = 84+b et bk=-72)
⇐⇒(a = 84-72/k et b = -72/k)
comme a et b naturels,
et les diviseurs de 72 négatifs sont -72, -36,-24,-18,-12,-9,-6,-4,-3,-2, et -1
et que PGCD(a;b) = 12 donc les valeurs possibles de k sont -6,-3,-2 et -1.
donc l'ensemble des valeurs possibles du couples d'entiers relatifs (a;b) est:
{(96;12),(108;24),(120;36),(156;72)}

C'est peut-être faux, chai pas trop

[catamat]

Bonjour

(S): a-b=84 et PGCD(a;b) = 12
d'après l'identité de Bézout, il existe des entiers relatifs u et v tels que
au+bv = 12
(S)⇐⇒ (a-b=84 et au+bv = 12 )
⇐⇒(a = 84+b et (84+b)u+bv = 12) erreur oubli du u

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Il y a une sacrée infinité de solutions !
Le système équivaut à pgcd(84,y)=12 et x = y+84.
On peut donc prendre pour y n'importe quel multiple de 12 qui n'est pas multiple de 7, et pour x on prend y+84. Par exemple y = 12 000 000 , x = 12 000 084.

Il est vraisemblable que l'énoncé a été mal recopié.